Biết (intlimits_0^(frac(pi )(4)) (( (((tan )^2)x + 2((tan )^8)x) )dx = - frac(a)(b) + frac(pi )(c)) ) với (a,,,b,,,c in mathbb(N)), phân số (frac(a)(b)) tối giản. Tính (T = a + b + c.)

Lưu lại

Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx =  - \frac{a}{b} + \frac{\pi }{c}} $ với $a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}$, phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $T = a + b + c.$

Đáp án: A

Ta có $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx} $

Đặt $t = \tan x$$ \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}$ $ = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx$ $ = \left( {1 + {t^2}} \right)dx$

$ \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.$.

Khi đó ta có: $I = \int\limits_0^1 {\left( {{t^2} + 2{t^8}} \right)\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} $

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left( {2{t^6} - 2{t^4} + 2{t^2} - 1 + \frac{1}{{{t^2} + 1}}} \right)dt} \\ \Rightarrow I = \left. {\left( {\frac{{2{t^7}}}{7} - \frac{{2{t^5}}}{5} + \frac{{2{t^3}}}{3} - t} \right)} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \\ \Rightarrow I =  - \frac{{47}}{{105}} + {I_1}\end{array}$

Đặt $t = \tan u$$ \Rightarrow dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}u}}du = \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow u = 0\\t = 1 \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.$.

Khi đó ta có: ${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du}}{{1 + {{\tan }^2}u}}}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {du}  = \frac{\pi }{4}$.

$ \Rightarrow I =  - \frac{{47}}{{105}} + \frac{\pi }{4}$$ \Rightarrow a = 47,\,\,b = 105,\,\,c = 4$

Vậy $T = a + b + c$$ = 47 + 105 + 4 = 156$

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên
    Câu hỏi nằm trong đề thi: