Biết ((log _(40))75 = a + dfrac((((log )_2)3 - b))((c + ((log )_2)5))) với (a,(rm( ))b,(rm( ))c) là các số nguyên dương. Giá trị của (abc) bằng

Lưu lại

Biết ${\log _{40}}75 = a + \dfrac{{{{\log }_2}3 - b}}{{c + {{\log }_2}5}}$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ là các số nguyên dương. Giá trị của $abc$ bằng

Đáp án: B

Cách 1:

Ta có: ${\log _{40}}75 = \dfrac{{{{\log }_2}75}}{{{{\log }_2}40}}$$ = \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5}}{{3{{\log }_2}2 + {{\log }_2}5}}$ $ = \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5}}{{3 + {{\log }_2}5}}$ $ \Rightarrow c = 3$

$a + \dfrac{{{{\log }_2}3 - b}}{{c + {{\log }_2}5}} = a + \dfrac{{{{\log }_2}3 - b}}{{3 + {{\log }_2}5}}$$ = \dfrac{{{{\log }_2}3 + \left( {a{{\log }_2}5 + 3a - b} \right)}}{{3 + {{\log }_2}5}}$

Suy ra: $a{\log _2}5 + 3a - b = 2{\log _2}5$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\3a - b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 6\end{array} \right.$.

Vậy $abc = 2.6.3 = 36$.

Cách 2:

Ta có: ${\log _{40}}75 = \dfrac{{{{\log }_2}75}}{{{{\log }_2}40}}$$ = \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}40}}$ $ = \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2\left( {{{\log }_2}40 - 3} \right)}}{{{{\log }_2}40}}$ $ = 2 + \dfrac{{{{\log }_2}3 - 6}}{{3 + {{\log }_2}5}}$

Suy ra: $a = 2,\,b = 6,\,c = 3$.

Vậy $abc = 2.6.3 = 36$.

Chọn B.

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên