Cho (f( x )) là hàm liên tục trên (mathbb(R)) thỏa mãn (f( 1 ) = 1) và (intlimits_0^1 (f( t )dt) = frac(1)(2)). Tính (I = intlimits_0^(frac(pi )(2)) (sin 2x.f'( (sin x) )dx) .)

Lưu lại

Cho $f\left( x \right)$ là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 1$ và $\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{2}$.  Tính $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {\sin x} \right)dx} .$

Đáp án: D

Ta có: $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {\sin x} \right)dx} $

$= 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x.\cos x.f'\left( {\sin x} \right)dx} $.

Đặt $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx.$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.$.

Khi đó ta có: $I = 2\int\limits_0^1 {t.f'\left( t \right)dt} $.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = f'\left( t \right)dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = f\left( t \right)\end{array} \right.$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2.\left[ {\left. {\left( {t.f\left( t \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2.\left( {f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2.\left( {1 - \frac{1}{2}} \right) = 1.\end{array}$

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên
    Câu hỏi nằm trong đề thi: