Cho hàm số (f( x )) đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn ([ (0;2) ]) và thỏa mãn (2([ (f( x )) ]^2) - f( x )f''( x ) + ([ (f'( x )) ]^2) = 0) với (forall x in [ (0;2) ]). Biết (f( 0 ) = 1,f( 2 ) = (e^6)), tính tích phân (I = intlimits_( - 2)^0 (( (2(rm(x)) + 1) )f( x )d(rm(x))) ) bằng

Lưu lại

Cho hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ và thỏa mãn $2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right)f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 0$ với $\forall x \in \left[ {0;2} \right]$. Biết $f\left( 0 \right) = 1,f\left( 2 \right) = {e^6}$, tính tích phân $I = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)f\left( x \right)d{\rm{x}}} $ bằng 

Đáp án: B

Giả sử $f\left( x \right) = {e^{a{x^2} + bx + c}}$

Ta có

 $\begin{array}{l} = {\left( {{e^{a{x^2} + bx + c}}} \right)^2}\left[ {2 - 2a} \right] = 0\\ \Rightarrow a = 1\end{array}$

Do đó hàm số có dạng $f\left( x \right) = {e^{{x^2} + bx + c}}$

Mà $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = {e^c} = 1 \Rightarrow c = 0\\f\left( 2 \right) = {e^{4 + 2b + c}} = {e^6} \Rightarrow b = 1\end{array} \right.$

Nên $f\left( x \right) = {e^{{x^2} + x}}$

Khi đó \[I = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2x + 1} \right)f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2x + 1} \right){e^{{x^2} + x}}dx}  = 1 - {e^2}\]

Chọn B.

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên