Cho hàm số (y = dfrac(1)(3)(x^3) - ( (m + 1) )(x^2) - ( (3(m^2) + 2m) )x + 1) (với (m) là tham số). Gọi ([ (a;b) ]) là tập hợp tất cả các giá trị của (m) để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (( (4; + infty ) )). Tính giá trị của biểu thức (T = a + 3b)

Lưu lại

Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {3{m^2} + 2m} \right)x + 1$ (với $m$ là tham số). Gọi $\left[ {a;b} \right]$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {4; + \infty } \right)$. Tính giá trị của biểu thức $T = a + 3b$ 

Đáp án: D

TXĐ:  $D = \mathbb{R}$. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng $\left( {4; + \infty } \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {3{m^2} + 2m} \right)x + 1\\ \Rightarrow y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - \left( {3{m^2} + 2m} \right)\end{array}$

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {4; + \infty } \right)$ khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l}y' \ge 0,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - \left( {3{m^2} + 2m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + mx} \right) - \left[ {\left( {3m + 2} \right)x + \left( {3{m^2} + 2m} \right)} \right] \ge 0,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow x\left( {x + m} \right) - \left( {3m + 2} \right)\left( {x + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {x - \left( {3m + 2} \right)} \right]\left( {x + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

Nếu $3m + 2 =  - m \Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{2}$ thì   $\left( 1 \right)$ luôn đúng.

Nếu $3m + 2 >  - m \Leftrightarrow m >  - \dfrac{1}{2}$ thì   $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3m + 2\\x \le  - m\end{array} \right.,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right) \Leftrightarrow 3m + 2 \le 4 \Leftrightarrow m \le \dfrac{2}{3}$

Nếu $3m + 2 <  - m \Leftrightarrow m <  - \dfrac{1}{2}$ thì  $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 3m + 2\\x \ge  - m\end{array} \right.,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right) \Leftrightarrow 4 \ge  - m \Leftrightarrow m \ge  - 4$

Vậy $m \in \left[ { - 4;\dfrac{2}{3}} \right]$ thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {4; + \infty } \right)$

Do đó,  $T = a + 3b =  - 4 + 3.\dfrac{2}{3} =  - 2$

Đáp án  D

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên