Cho hàm số (y = dfrac((x - 1))((x + 1))) có đồ thị là (( C )). Gọi (S) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số (m) để đường thẳng (d:,,y = mx + m + 1) cắt (( C )) tại 2 điểm (A,,B) sao cho độ dài đoạn thẳng (AB) bằng (2sqrt 5 ). Tích các phần tử của (S) là

Lưu lại

Cho hàm số $y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:\,\,y = mx + m + 1$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm $A,\,B$ sao cho độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng $2\sqrt 5 $. Tích các phần tử của $S$ là 

Đáp án: B

TXĐ:   $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và đồ thị hàm số $\left( C \right)$ là:

$\begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} = mx + m + 1\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right) = \left( {mx + m + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow m{x^2} + mx + mx + m + x + 1 = x - 1\\ \Leftrightarrow m{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

Đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác $ - 1$

Suy ra   $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\m.{\left( { - 1} \right)^2} + 2m.\left( { - 1} \right) + m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m\left( {m + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow m < 0$

Với $m < 0,$ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn:  $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 2m}}{m}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{m + 2}}{m}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{m + 2}}{m}\end{array} \right.$

Suy ra, đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt $A\left( {{x_1};m{x_1} + m + 1} \right);\,\,\,\,B\left( {{x_2};m{x_2} + m + 1} \right)$

Ta có:

 $\begin{array}{l}AB = 2\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left[ {\left( {m{x_1} + m + 1} \right) - \left( {m{x_2} + m + 1} \right)} \right]}^2}}  = 2\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {m^2}{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right){\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 20\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 20\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 4.\dfrac{{m + 2}}{m}} \right] = 20\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\dfrac{{ - 8}}{m} = 20\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 8{m^2} - 8 = 20m\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{1}{2}\\m =  - 2\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {t/m} \right)\end{array}$

Vậy tích các giá trị của $m$ thỏa mãn là      $S = \left( { - \dfrac{1}{2}} \right).\left( { - 2} \right) = 1$

Đáp án  B

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên