Cho hàm số (y = (x^3) - 2( (m - 1) )(x^2) + 2( ((m^2) - 2m) )x + 4(m^2)) có đồ thị (( C )) và đường thẳng (d:y = 4(rm(x)) + 8). Đường thẳng ((rm(d))) cắt đồ thị (( C )) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ (((rm(x))_1),(x_2),(x_3)). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (P = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3).

Lưu lại

Cho hàm số $y = {x^3} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - 2m} \right)x + 4{m^2}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y = 4{\rm{x}} + 8$. Đường thẳng ${\rm{d}}$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{\rm{x}}_1},{x_2},{x_3}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3$. 

Đáp án: A

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - 2m} \right)x + 4{m^2}$ và đường thẳng $y = 4x + 8$là nghiệm của phương trình

$\begin{array}{l}{x^3} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - 2m} \right)x + 4{m^2} = 4x + 8\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - 2m - 2} \right)x + 4{m^2} - 8 = 0\end{array}$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\{x^2} - 2mx + 2{m^2} - 4 = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.$

Từ (1)  có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = 2{m^2} - 4\end{array} \right.$

Khi đó

$\begin{array}{l}P = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = \left( {{x_1} + {x_1}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] - 8\\ \Rightarrow P =  - 4{m^3} + 24m - 8 = f\left( m \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}f'\left( m \right) =  - 12{m^2} + 24 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 2 \\f\left( {\sqrt 2 } \right) = 16\sqrt 2  - 8\\f\left( { - 2} \right) =  - 16\sqrt 2  - 8\end{array}$

Nên ${P_{\max }} = 16\sqrt 2  - 8$

Chọn A.

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên