Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm của SA. Thể tích của khối chóp M.ABC bằng

Lưu lại

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm của SA. Thể tích của khối chóp M.ABC bằng

Đáp án: D

Ta có:${S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$

$AO = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta SAO$ vuông tại $O$ ta có:

$SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {33} }}{3}.$

Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $AO.$

Khi đó ta có: $MI = \dfrac{1}{2}SO$ (định lý Ta-let).

$\begin{array}{l} \Rightarrow MI = \dfrac{{a\sqrt {35} }}{6}.\\ \Rightarrow {V_{MABC}} = \dfrac{1}{3}MI.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {33} }}{6}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{24}}.\end{array}$

Chọn  D.

Ta có:${S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$

$AO = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta SAO$ vuông tại $O$ ta có:

$SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {33} }}{3}.$

Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $AO.$

Khi đó ta có: $MI = \dfrac{1}{2}SO$ (định lý Ta-let).

$\begin{array}{l} \Rightarrow MI = \dfrac{{a\sqrt {35} }}{6}.\\ \Rightarrow {V_{MABC}} = \dfrac{1}{3}MI.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {33} }}{6}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{24}}.\end{array}$

Chọn  D.

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên