Cho hình chóp (S.ABC) có đáy (ABC) là tam giác vuông cân tại (B) và (BA = BC = a.) Cạnh bên (SA = 2a) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp(S.ABC) là :

Lưu lại

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $BA = BC = a.$ Cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp$S.ABC$ là :

Đáp án: D

Gọi $D$ và $E$ lần lượt là trung điểm của $AC,SC$.

Ta có $DE//SA \Rightarrow DE \bot \left( {ABC} \right)$ mà $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $ED$ là trục đường trong ngoại tiếp đáy. Do đó: $EA = EB = EC$

 

Lại có tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $E$ là trung điểm cạnh huyền nên $EA = ES = EC = \dfrac{{SC}}{2}$

Suy ra $EA = ES = EC = EB = \dfrac{{SC}}{2}$ hay $E$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ và bán kính mặt cầu là $\dfrac{{SC}}{2}$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ta có: $AC = \sqrt {B{C^2} + B{A^2}}  = a\sqrt 2 $

Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$ ta có: $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {4{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 6 $

Bán kính mặt cầu cần tìm là: $R = \dfrac{{SC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.$

Chọn D

Gọi $D$ và $E$ lần lượt là trung điểm của $AC,SC$.

Ta có $DE//SA \Rightarrow DE \bot \left( {ABC} \right)$ mà $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $ED$ là trục đường trong ngoại tiếp đáy. Do đó: $EA = EB = EC$

 

Lại có tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $E$ là trung điểm cạnh huyền nên $EA = ES = EC = \dfrac{{SC}}{2}$

Suy ra $EA = ES = EC = EB = \dfrac{{SC}}{2}$ hay $E$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ và bán kính mặt cầu là $\dfrac{{SC}}{2}$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ta có: $AC = \sqrt {B{C^2} + B{A^2}}  = a\sqrt 2 $

Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$ ta có: $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {4{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 6 $

Bán kính mặt cầu cần tìm là: $R = \dfrac{{SC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.$

Chọn D

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên