Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết (SB = a) và SC hợp với (SAB) một góc 300 và (SAC) hợp với (ABC) một góc 600. Thể tích khối chóp là:

Lưu lại

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết $SB = a$ và SC hợp với (SAB) một góc 300 và (SAC) hợp với (ABC) một góc 600. Thể tích khối chóp là:

Đáp án: A

 Ta có:$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot AB}\\{AC \bot SB{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {SB \bot \left( {ABC} \right)} \right)}\end{array}} \right\}$$ \Rightarrow AC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AC \bot SA$   

$ \Rightarrow $ SA là hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) ⇒$\widehat {\left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;SA} \right)} = \widehat {CSA} = {30^0}$

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC}\\{\left( {SAC} \right) \supset SA \bot AC}\\{\left( {ABC} \right) \supset AB \bot AC}\end{array}} \right\}$$ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;AB} \right)} = \widehat {SAB} = {60^0}$

$SB \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SB \bot AB \Rightarrow \Delta SAB$ vuông tại B

$ \Rightarrow AB = SB.cot60 = a.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

$ \Rightarrow SA = \sqrt {S{B^2} + A{B^2}} {\rm{\; = }}\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} {\rm{\;}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$

Xét tam giác vuông SAC ta có: $AC = SA.\tan 30 = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{3}$

⇒ ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9}$

⇒ ${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SB.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}$

Chọn A.

Ta có:$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot AB}\\{AC \bot SB{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {SB \bot \left( {ABC} \right)} \right)}\end{array}} \right\}$$ \Rightarrow AC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AC \bot SA$   

$ \Rightarrow $ SA là hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) ⇒$\widehat {\left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;SA} \right)} = \widehat {CSA} = {30^0}$

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC}\\{\left( {SAC} \right) \supset SA \bot AC}\\{\left( {ABC} \right) \supset AB \bot AC}\end{array}} \right\}$$ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;AB} \right)} = \widehat {SAB} = {60^0}$

$SB \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SB \bot AB \Rightarrow \Delta SAB$ vuông tại B

$ \Rightarrow AB = SB.cot60 = a.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

$ \Rightarrow SA = \sqrt {S{B^2} + A{B^2}} {\rm{\; = }}\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} {\rm{\;}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$

Xét tam giác vuông SAC ta có: $AC = SA.\tan 30 = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{3}$

⇒ ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9}$

⇒ ${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SB.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}$

Chọn A.

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên