Cho hình chóp S.ABC có đáy là (Delta ABC) vuông cân ở (B,(mkern 1mu) )(AC = asqrt 2 ,(mkern 1mu) )(SA bot ( (ABC) ),) (SA = a.) Gọi (G) là trọng tâm của (Delta SBC), (mp( (alpha (rm(;))) )) đi qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai phần. Gọi (V)là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh (S). Tính V.

Lưu lại

Cho hình chóp S.ABC có đáy là $\Delta ABC$ vuông cân ở $B,{\mkern 1mu} $$AC = a\sqrt 2 ,{\mkern 1mu} $$SA \bot \left( {ABC} \right),$ $SA = a.$ Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta SBC$, $mp\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)$ đi qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai phần. Gọi $V$là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh $S$. Tính V.

Đáp án: A

Trong $\left( {SBC} \right)$ qua $G$ kẻ $MN//BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {M \in SB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N \in SC} \right)$. Khi đó mặt phẳng đi qua AG và song song với BC chính là mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$. Mặt phẳng này chia khối chóp thành 2 khối S.AMN và AMNBC.

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

Vì $MN//BC \Rightarrow $ Theo định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{2}{3}\left( { = \dfrac{{SG}}{{SH}}} \right)$.

$\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$$ \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{4}{9}{V_{S.ABC}}$.

Mà ${V_{S.AMN}} + {V_{AMNBC}} = {V_{S.ABC}} \Rightarrow {V_{AMNBC}} = \dfrac{5}{9}{V_{S.ABC}} = V$.

Ta có $\Delta ABC$ vuông cân tại $B \Rightarrow AB = BC = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a$$ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}{a^2}$.

$ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}$$ = \dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{2}{a^2} = \dfrac{{{a^3}}}{6}$.

Vậy $V = \dfrac{5}{9}.\dfrac{{{a^3}}}{6} = \dfrac{{5{a^3}}}{{54}}$.

Chọn A.

Trong $\left( {SBC} \right)$ qua $G$ kẻ $MN//BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {M \in SB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N \in SC} \right)$. Khi đó mặt phẳng đi qua AG và song song với BC chính là mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$. Mặt phẳng này chia khối chóp thành 2 khối S.AMN và AMNBC.

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

Vì $MN//BC \Rightarrow $ Theo định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{2}{3}\left( { = \dfrac{{SG}}{{SH}}} \right)$.

$\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$$ \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{4}{9}{V_{S.ABC}}$.

Mà ${V_{S.AMN}} + {V_{AMNBC}} = {V_{S.ABC}} \Rightarrow {V_{AMNBC}} = \dfrac{5}{9}{V_{S.ABC}} = V$.

Ta có $\Delta ABC$ vuông cân tại $B \Rightarrow AB = BC = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a$$ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}{a^2}$.

$ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}$$ = \dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{2}{a^2} = \dfrac{{{a^3}}}{6}$.

Vậy $V = \dfrac{5}{9}.\dfrac{{{a^3}}}{6} = \dfrac{{5{a^3}}}{{54}}$.

Chọn A.

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên