Cho hình chóp (S.ABC) có (SA) vuông góc với mặt phẳng (( (ABC) )), tam giác (ABC) vuông tại (B). Biết (SA = 2a), (AB = a), (BC = asqrt 3 ). Tính bán kính (R) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Lưu lại

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Biết $SA = 2a$, $AB = a$, $BC = a\sqrt 3 $. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Đáp án: A

Gọi $O,\,\,I$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $SC$. Khi đó $OI$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $OI\parallel SA$. Mà $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OI \bot \left( {ABC} \right)$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, mà $OI \bot \left( {ABC} \right)$ nên $OI$ chính là trục của $\left( {ABC} \right)$, suy ra $IA = IB = IC\,\,\,\left( 1 \right)$.

Lại có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot AC$, do đó tam giác $SAC$ vuông tại $A$ nên $I$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAC$, suy ra $IS = IA = IC\,\,\,\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) ta có $IA = IB = IC = IS$, hay $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$, và bán kính mặt cầu là $R = IS = \frac{1}{2}SC$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ABC$ ta có: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 2a$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SAC$ ta có: $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = 2a\sqrt 2 $.

Vậy $R = \frac{1}{2}SC = a\sqrt 2 $.

Chọn A.

Gọi $O,\,\,I$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $SC$. Khi đó $OI$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $OI\parallel SA$. Mà $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OI \bot \left( {ABC} \right)$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, mà $OI \bot \left( {ABC} \right)$ nên $OI$ chính là trục của $\left( {ABC} \right)$, suy ra $IA = IB = IC\,\,\,\left( 1 \right)$.

Lại có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot AC$, do đó tam giác $SAC$ vuông tại $A$ nên $I$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAC$, suy ra $IS = IA = IC\,\,\,\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) ta có $IA = IB = IC = IS$, hay $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$, và bán kính mặt cầu là $R = IS = \frac{1}{2}SC$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ABC$ ta có: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 2a$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SAC$ ta có: $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = 2a\sqrt 2 $.

Vậy $R = \frac{1}{2}SC = a\sqrt 2 $.

Chọn A.

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên