Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình vuông cạnh (a). Cạnh bên (SA = asqrt 6 ) và vuông góc với đáy (( (ABCD) )). Tính theo (a) diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp (S.ABCD)

Lưu lại

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $SA = a\sqrt 6 $ và vuông góc với đáy $\left( {ABCD} \right)$. Tính theo $a$ diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABCD$ 

Đáp án: B

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $I$ là trung điểm của $SC$.

$ABCD$ là hình vuông nên $O$ là tâm đường tròn ngoại  tiếp hình vuông $ABCD$ và $O$ là trung điểm $AC$ và $BD.$

$OI$ là đường trung bình trong tam giác $SAC$ nên $OI//SA$ mà $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $OI \bot \left( {ABCD} \right)$

$I$ nằm trên đường thẳng qua tâm $O$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ nên $IA = IB = IC = ID$

Mặt khác tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có trung tuyến $AI$ nên  $IA = \dfrac{1}{2}SC = SI = IC$

Suy ra $IS = IA = IB = IC = ID$ hay $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Ta có:

$ABCD$ là hình vuông nên $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = \sqrt 2 a$

Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ nên $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {6{a^2} + 2{a^2}}  = 2\sqrt 2 a$

$ \Rightarrow R = \dfrac{1}{2}SC = \sqrt 2 a$

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là $S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\sqrt 2 a} \right)^2} = 8\pi {a^2}$

Chọn B                               

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $I$ là trung điểm của $SC$.

$ABCD$ là hình vuông nên $O$ là tâm đường tròn ngoại  tiếp hình vuông $ABCD$ và $O$ là trung điểm $AC$ và $BD.$

$OI$ là đường trung bình trong tam giác $SAC$ nên $OI//SA$ mà $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $OI \bot \left( {ABCD} \right)$

$I$ nằm trên đường thẳng qua tâm $O$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ nên $IA = IB = IC = ID$

Mặt khác tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có trung tuyến $AI$ nên  $IA = \dfrac{1}{2}SC = SI = IC$

Suy ra $IS = IA = IB = IC = ID$ hay $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Ta có:

$ABCD$ là hình vuông nên $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = \sqrt 2 a$

Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ nên $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {6{a^2} + 2{a^2}}  = 2\sqrt 2 a$

$ \Rightarrow R = \dfrac{1}{2}SC = \sqrt 2 a$

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là $S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\sqrt 2 a} \right)^2} = 8\pi {a^2}$

Chọn B

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên