Cho hình hộp chữ nhật (ABCD.A'B'C'D') có (AB = 2a), (AD = a), (AA' = asqrt 3 ). Gọi (M) là trung điểm cạnh (AB). Tính khoảng cách (h) từ điểm (D) đến mặt phẳng (( (B'MC) ).)

Lưu lại

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 2a$, $AD = a$, $AA' = a\sqrt 3 $. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Tính khoảng cách $h$ từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( {B'MC} \right).$

Đáp án: D

Gọi $I$ là trung điểm của $MC \Rightarrow BI \bot MC\;$(vì $\Delta BMC$ vuông cân).

Kẻ $BH \bot B'I \Rightarrow BH \bot \left( {B'MC} \right)$$ \Rightarrow d\left( {B,\left( {B'MC} \right)} \right) = BH.$

Ta có tam giác $BMC$ vuông cân tại $B$ nên $BI = \dfrac{{MC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$BH = \dfrac{{BB'.BI}}{{\sqrt {B{{B'}^2} + B{I^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}$$ \Rightarrow d\left( {B,\left( {MB'C} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.$

Mặt khác gọi $E$ là giao điểm của $BD$ và $MC \Rightarrow \dfrac{{d\left( {D,\left( {MB'C} \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( {MB'C} \right)} \right)}} = \dfrac{{ED}}{{EB}}$$ = \dfrac{{DC}}{{MB}} = 2.$

$ \Rightarrow d\left( {D,\left( {MB'C} \right)} \right) = 2d\left( {B,\left( {MB'C} \right)} \right) = \dfrac{{2a\sqrt {21} }}{7}.$

Chọn D.

Gọi $I$ là trung điểm của $MC \Rightarrow BI \bot MC\;$(vì $\Delta BMC$ vuông cân).

Kẻ $BH \bot B'I \Rightarrow BH \bot \left( {B'MC} \right)$$ \Rightarrow d\left( {B,\left( {B'MC} \right)} \right) = BH.$

Ta có tam giác $BMC$ vuông cân tại $B$ nên $BI = \dfrac{{MC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$BH = \dfrac{{BB'.BI}}{{\sqrt {B{{B'}^2} + B{I^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}$$ \Rightarrow d\left( {B,\left( {MB'C} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.$

Mặt khác gọi $E$ là giao điểm của $BD$ và $MC \Rightarrow \dfrac{{d\left( {D,\left( {MB'C} \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( {MB'C} \right)} \right)}} = \dfrac{{ED}}{{EB}}$$ = \dfrac{{DC}}{{MB}} = 2.$

$ \Rightarrow d\left( {D,\left( {MB'C} \right)} \right) = 2d\left( {B,\left( {MB'C} \right)} \right) = \dfrac{{2a\sqrt {21} }}{7}.$

Chọn D.

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên