Cho (intlimits_0^1 (dfrac((dx))((sqrt (x + 1) (rm(;)) + sqrt x )) = dfrac(2)(3)( (sqrt a (rm(;)) - b) )) ) với a,b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức (T = a + b) là:

Trong không gian Oxyz, cho $A\left( {1;1; - 1} \right),B\left( { - 1;2;0} \right),C\left( {3; - 1; - 2} \right)$. Giả sử $M\left( {a;b;c} \right)$ thuộc mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 861$ sao cho $P = 2M{A^2} - 7M{B^2} + 4M{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị $T = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|$ bằng

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3{x^2} + 8\sin x$.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Hình trụ $\left( T \right)$ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD. Diện tích xung quanh của $\left( T \right)$ bằng:

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\dfrac{1}{3}}}\dfrac{{1 - 2x}}{x} > 0$ có dạng $\left( {a;b} \right)$. Tính $T = 3a - 2b.$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Biết $AC = 2a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD = 4a$. Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. 

Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3}.$ Với giá trị nào của $m$ để hàm số có 2 điểm cực trị A,B sao cho $AB = \sqrt {20} .$

Biết rằng $\int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx = a + b\ln 3 + c\ln 2} $ với $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c$ là các số hữu tỉ. Tính $2a + 3b - 4c.$ 

Tìm giá trị cực đại của hàm số $y = {\rm{\;}} - {x^3} + 3{x^2} + 1$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_0^7 {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = 10$ và $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = 6$. Tính $I = \int\limits_{ - 2}^3 {f\left| {3 - 2x} \right|dx} $.

Cho bất phương trình ${\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 2x + 6} \right) \le {\rm{\;}} - 2$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng $\sqrt 2 a$. Tam giác SAD cân tại $S$ và mặt bên $\left( {SAD} \right)$  vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng $\dfrac{4}{3}{a^3}$. Tính khoảng cách h từ $B$  đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$. 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình $f\left( {1 - f\left( x \right)} \right) = 2$ là:

Cho hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình bên dưới.

Trong các số $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d$ có bao nhiêu số dương?

Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2}{{ - x + 3}}$.

Cho $\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x + 1} {\rm{\;}} + \sqrt x }} = \dfrac{2}{3}\left( {\sqrt a {\rm{\;}} - b} \right)} $ với a,b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức $T = a + b$ là:

Hãy tìm số nghiệm $x$ thuộc $\left[ {0;100} \right]$ của phương trình sau: ${2^{\cos \pi x - 1}} + \dfrac{1}{2} = \cos \pi x + {\log _4}\left( {3\cos \pi x - 1} \right)$

Cho hàm số $y = f\left( x \right).$ Đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ như hình bên dưới. Hàm số $g\left( x \right) = f\left( {2 + {e^x}} \right)$nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, $AB = a;\,\,AD = a\sqrt 3 $. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 2}}$, biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = {\rm{\;}} - 3$.

Cho ba điểm $A\left( {2;1; - 1} \right),$$B\left( { - 1;0;4} \right),$$C\left( {0; - 2; - 1} \right)$. Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với BC có phương trình là

Tính thể tích $V$ của khối nón có độ dài đường sinh $l = 5a$ và bán kính của đường tròn đáy là $r = 3a$

Diện tích hình phẳng giới hạn bơi đường thẳng $y = x + 3$ và parabol $y = 2{x^2} - x - 1$ bằng:

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + 2x$ là:

Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $3x - 2$ và đồ thị hàm số $y = {x^2}$ quanh quanh trục Ox.

Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt phăng (DBC’) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc ${60^0}$. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = {x^4} - 12{x^2} - 4$ trên đoạn $\left[ {0;9} \right]$ bằng:

Làng gốm truyền thống Bát Tràng dự kiến làm một bức tranh gồm hình vuông cạnh $4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right)$, thiết kế có 4 đường parabol chung đỉnh tại tâm của hình vuông, tạo nên bốn cánh hoa (tham khảo hình vẽ). Phần diện tích cánh hoa (phần tô đậm) sẽ được tráng một lớp men đặc biệt. Chi phí tráng lớp men đó có đơn giá là 24 triệu đồng/${m^2}$. Tính số tiền phải trả để tráng men cho 4 cánh hoa.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ không vượt quá 2021 để phương trình ${4^{x - 1}} - m{.2^{x - 2}} + 1 = 0$ có nghiệm?

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $x < y$ và ${4^x} + {4^y} = 32y - 32x + 48$.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 2z + 1 = 0$ và hai điểm $A\left( {1;0; - 2} \right),$$B\left( { - 1; - 1;3} \right)$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1;1;2} \right),B\left( {2;0;1} \right)$. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là:

Nghiệm của phương trình ${3^{x - 1}} = 9$ là

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại $A$, mặt bên $\left( {SBC} \right)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)$ là mặt phẳng đi qua điểm $B$ và vuông góc với SC, chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{{x - 3}}{4} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{3}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?

Họ nguyên hàm của hàm số $y = x\sin x$ là

Nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ là: 

Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với $\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - z + y = 0$ và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2x + 2y - z + 1 = 0$ và $\left( R \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x + 2y - 2z + 2 = 0$.

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai đường thẳng ${d_1}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 5}}{{ - 3}}$ và ${d_2}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{{x + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{3}.$ Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

Cho hàm số $y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Với giá trị nào của $m$ để đường thẳng $y =  - x + m$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt?

Cho $\overrightarrow a  = \left( {3; - 4} \right),{\rm{ }}\overrightarrow b  = \left( { - 1;2} \right)$. Tìm tọa độ của $\overrightarrow a  + \overrightarrow b .$ 

Cho khối chóp $S.ABC$  có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a.$ Hai mặt $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ cùng vuông  góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết $SC = a\sqrt 3 ?$ 

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 1 + x + \dfrac{4}{x}$ trên đoạn $\left[ { - 3; - 1} \right]$ bằng 

Điều kiện để biểu thức $P = \tan \left( {\alpha  + \dfrac{\pi }{3}} \right) + \cot \left( {\alpha  - \dfrac{\pi }{6}} \right)$ xác định là 

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O.$ Đẳng thức nào sau đây sai? 

Giới hạn sau $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{{x^2} - 2x + 1}}{{2{x^2} + x - 1}}$ có giá trị là: 

Tập xác định của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{ - {x^2} + 2x}}{{{x^2} + 1}}$ là tập hợp nào sau đây? 

Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt {4{x^2} + 3x + 1} $ là hàm số nào sau đây ? 

Tam thức $f\left( x \right) = 3{x^2} + 2\left( {2m - 1} \right)x + m + 4$ dương với mọi $x$ khi 

Biết 3 số hạng đầu của cấp số cộng là $ - 2;x;6$. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng đó? 

Hệ số của ${x^7}$ trong khai triển của nhị thức Niu tơn ${\left( {3 - x} \right)^9}$ là 

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Đặt $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b $, $\overrightarrow {AC}  = \vec c$, $\overrightarrow {AD}  = \vec d$. Khẳng định nào sau đây đúng? 

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x - 3}}{{2x + 1}}$  là 

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ { - 2018;2018} \right]$ để hàm số $y = \left( {m - 2} \right)x + 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}?$ 

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}$ có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? 

Họ nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ là 

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $6cm.$ Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Trong đó $AE = 2\left( {cm} \right),AH = x\left( {cm} \right),CF = 3\left( {cm} \right),CG = y\left( {cm} \right).$ Tìm tổng $x + y$ để diện tích hình thang $EFGH$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $a.$ Tính cosin  của góc giữa hai mặt bên không liền kề nhau. 

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh bằng $4a$. Cạnh bên $SA = 2a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trung điểm của $H$ của đoạn thẳng $AO$. Tính khoảng cách $d$ giữa các đường thẳng $SD$ và $AB$. 

Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a,$ góc giữa mặt bên và đáy bằng $60^\circ .$ Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABC.$ 

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y = \dfrac{{mx + 4}}{{x + m}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$? 

Hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $BC = a$, mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ tạo với đáy một góc $30^\circ $ và tam giác $A'BC$ có diện tích bằng ${a^2}\sqrt 3 $. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành có diện tích bằng $2{a^2}$ ,$AB = a\sqrt 2 ;BC = 2a$. Gọi $M$  là trung điểm của $DC$. Hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$  và $\left( {SAM} \right)$ cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm $B$  đến mặt phẳng $\left( {SAM} \right)$ bằng

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình thoi $ABCD$ có tâm $I\left( {2;1} \right)$ và $AC = 2BD$. Điểm $M\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right)$  thuộc đường thẳng $AB$, điểm $N\left( {0;7} \right)$ thuộc đường thẳng $CD$. Tìm tọa độ đỉnh $B$ biết $B$ có hoành độ dương. 

Biết rằng đồ thị hàm số $y = \dfrac{{\left( {m - 2n - 3} \right)x + 5}}{{x - m - n}}$ nhận hai trục tọa độ làm hai đường tiệm cận. Tính tổng $S = {m^2} + {n^2} - 2.$ 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $h\left( x \right) = \left| {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + m} \right|$ có đúng $3$ điểm cực trị.

Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {4m - 3} \right)x + 2017$. Tìm giá trị lớn nhất của tham số thực $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$. 

Một chi đoàn có 3 đoàn viên nữ và một số đoàn viên nam. Cần lập một đội thanh niên tình nguyện gồm 4 người. Biết xác suất để trong 4 người được chọn có 3 nữ  bằng $\dfrac{2}{5}$ lần xác suất 4 người được chọn toàn nam. Hỏi chi đoàn đó có bao nhiêu đoàn viên ?

Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^2} + 5}}$ bằng 

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ { - 2017;2018} \right]$ để hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x$ có hai điểm cực trị nằm trong khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)$ trên khoảng ${\rm{K}}$. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $f'\left( x \right)$ trên khoảng ${\rm{K}}$. Hỏi hàm số $f\left( x \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ thuộc khoảng $\left( { - 1000;1000} \right)$ để hàm số $y = 2{x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + 6m\left( {m + 1} \right)x + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$? 

Trong một đợt tổ chức cho học sinh tham gia dã ngoại ngoài trời. Để có thể có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, các bạn học sinh đã dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là $12\,m$ và chiều rộng là $6\,m$ bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau $x\,(m)$ (xem hình vẽ). Tìm $x$ để khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f\left( x \right) + m - 2018 = 0$ có duy nhất một nghiệm.

Cho hình chóp $S.ABCD$  có đáy là hình vuông $ABCD$, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Mặt phẳng qua $AB$  cắt $SC$  và $SD$  lần lượt tại  $M$  và $N$  sao cho $\dfrac{{SM}}{{SC}} = x$. Tìm $x$  biết $\dfrac{{{V_{S.ABMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{11}}{{200}}$ 

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA $ \bot $(ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính $\dfrac{{50V\sqrt 3 }}{{{a^3}}}$, với V là thể tích khối chóp A.BCNM

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - \left| x \right| - 2}}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? 

Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${3^x} < {e^x}$ là 

Cho phương trình $\log _2^2\left( {4x} \right) - {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x} \right) = 5$ . Nghiệm nhỏ nhất của phương trình thuộc khoảng 

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2};\forall \,x \in \mathbb{R}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: 

Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x - 1}}$ . Biết $F\left( 1 \right) = 2$ . Giá trị của $F\left( 2 \right)$ là   

Một hình nón tròn xoay có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng $9\pi $ . Khi đó đường cao hình nón bằng 

Các khoảng nghịch biến của hàm số $y =  - {x^4} + 2{x^2} - 4$ là