Cho lăng trụ đứng (ABC.A'B'C') có đáy là (Delta ABC) với (AB = 2a,AC = a,widehat (BAC) = 120^circ ). Góc giữa (( (A'BC) )) và (( (ABC) )) bằng (45^circ ). Tính thể tích của khối lăng trụ (ABC.A'B'C')

Lưu lại

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là $\Delta ABC$ với $AB = 2a,AC = a,\widehat {BAC} = 120^\circ $. Góc giữa $\left( {A'BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng $45^\circ $. Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ 

Đáp án: D

Qua $A$ kẻ $AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)$      (1)

$ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên $AA' \bot \left( {ABC} \right) \Leftrightarrow AA' \bot BC$    (2)

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra   $BC \bot \left( {AHA'} \right) \Rightarrow BC \bot A'H$

Ta có :

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = BC\\A'H \bot BC,AH \bot BC\\A'H \subset \left( {A'BC} \right),AH \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \widehat {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)}$ $ = \widehat {A'H,AH} = \widehat {A'HA} = 45^\circ $

Do đó tam giác $A'HA$ vuông cân tại $A$

Tam giác $ABC$ có $AB = 2a,AC = a,\widehat {BAC} = 120^\circ $ nên ta có :

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2\cos BAC.AB.AC}  = \sqrt 7 a$

${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin BAC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2}$

Do đó $AH = \dfrac{{2{S_{ABC}}}}{{BC}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}$

Tam giác $AHA'$ vuông cân tại $A$ nên $AA' = AH = \dfrac{{\sqrt {21} a}}{7}$

Do đó, thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là  $V = AA'.{S_{ABC}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2} = \dfrac{{3\sqrt 7 }}{{14}}{a^3}$  

Chọn D                                                                    

Qua $A$ kẻ $AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)$      (1)

$ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên $AA' \bot \left( {ABC} \right) \Leftrightarrow AA' \bot BC$    (2)

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra   $BC \bot \left( {AHA'} \right) \Rightarrow BC \bot A'H$

Ta có :

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = BC\\A'H \bot BC,AH \bot BC\\A'H \subset \left( {A'BC} \right),AH \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \widehat {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)}$ $ = \widehat {A'H,AH} = \widehat {A'HA} = 45^\circ $

Do đó tam giác $A'HA$ vuông cân tại $A$

Tam giác $ABC$ có $AB = 2a,AC = a,\widehat {BAC} = 120^\circ $ nên ta có :

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2\cos BAC.AB.AC}  = \sqrt 7 a$

${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin BAC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2}$

Do đó $AH = \dfrac{{2{S_{ABC}}}}{{BC}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}$

Tam giác $AHA'$ vuông cân tại $A$ nên $AA' = AH = \dfrac{{\sqrt {21} a}}{7}$

Do đó, thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là  $V = AA'.{S_{ABC}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2} = \dfrac{{3\sqrt 7 }}{{14}}{a^3}$  

Chọn D

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên