Cho phương trình ((( (((log )_3)x) )^2) + 3m(log _3)( (3x) ) + 2(m^2) - 2m - 1 = 0). Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên m mà phương trình có 2 nghiệm phân biệt (((rm(x))_1),(x_2)) thỏa mãn ((x_1) + (x_2) < dfrac((10))(3)). Số phần tử của S là

Lưu lại

Cho phương trình ${\left( {{{\log }_3}x} \right)^2} + 3m{\log _3}\left( {3x} \right) + 2{m^2} - 2m - 1 = 0$. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên m mà phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${{\rm{x}}_1},{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} + {x_2} < \dfrac{{10}}{3}$. Số phần tử của S là

Đáp án: D

Đặt $t = {\log _3}x \Rightarrow x = {3^t}$

Phương trình trở thành

$\begin{array}{l}{t^2} + 3m\left( {1 + t} \right) + 2{m^2} - 2m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 3mt + 2{m^2} + m - 1 = 0\\{\Delta _t} = {\left( {m - 2} \right)^2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} =  - m - 1\\{t_2} =  - 2m + 1\end{array} \right.\end{array}$

${t_1} = {\log _3}{x_1};{t_2} = {\log _3}{x_2}$

$\begin{array}{l}{x_1} + {x_2} < \dfrac{{10}}{3} \Leftrightarrow {3^{ - m - 1}} + {3^{ - 2m + 1}} < \dfrac{{10}}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{ - m}}}}{3} + 3.{\left( {{3^{ - m}}} \right)^2} < \dfrac{{10}}{3}\left( 1 \right)\end{array}$

Đặt ${3^{ - m}} = u > 0$

$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3{u^2} + \dfrac{u}{3} - \dfrac{{10}}{3} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 10}}{9} < u < 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 10}}{9} < {3^{ - m}} < 1 \Leftrightarrow  - m < 0 \Leftrightarrow m > 0\end{array}$

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ${\Delta _t} > 0 \Leftrightarrow m \ne 2$. Vậy S có vô số phần tử.

Chọn D

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên