Cho phương trình ((( (sqrt (2 - sqrt 3 ) ) )^x) + (( (sqrt (2 + sqrt 3 ) ) )^x) = 4). Gọi ((x_1),,,(x_2)) (( ((x_1) < (x_2)) )) là hai nghiệm thực của phương trình. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lưu lại

Cho phương trình ${\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^x} + {\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^x} = 4$. Gọi ${x_1},\,\,{x_2}$ $\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$ là hai nghiệm thực của phương trình. Khẳng định nào sau đây là đúng? 

Đáp án: A

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^x}.{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^x} \\= {\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } .\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^x}\\ = {\left( {\sqrt {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} } \right)^x} \\= {\left( {\sqrt {{2^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} } \right)^x} = 1\end{array}$

Do đó nếu đặt ${\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right)$ thì ${\left( {\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^x} = \frac{1}{t}$, khi đó phương trình trở thành:

$\frac{1}{t} + t = 4 \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2 + \sqrt 3 \\t = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^x} = 2 + \sqrt 3 \\{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)^x} = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.$ 

 $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{\frac{1}{2}x}} = 2 + \sqrt 3 \\{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{\frac{1}{2}x}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 1}}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{2}x = 1\\\frac{1}{2}x =  - 1\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\end{array} \right.$.

Do đó phương trình có 2 nghiệm ${x_1} =  - 2,\,\,{x_2} = 2$.

Vậy ${x_1} + {x_2} = 0$.

Chọn A.

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên