Cho tích phân (I = intlimits_3^5 (frac(1)((2x - 1))dx) = aln 3 + bln 5,,,( (a,b in mathbb(Q)) )). Tính (S = a + b.)

Viết công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = f\left( x \right),$ $y = g\left( x \right)$ và các đường thẳng $x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)$.

Trong không gian Oxyz, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d: $\frac{{x - 4}}{7} = \frac{{y - 5}}{4} = \frac{{z + 7}}{{ - 5}}$

Tìm mô đun của số phức $z = 5 - 4i$

Cho số phức $z = 1 - 2i$. Tìm phần ảo của số phức $z$.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9$ có tâm và bán kính lần lượt là

Tìm số phức liên hợp của số phức $z = 1 - 2i$

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( { - 1;2;3} \right)$ và $B\left( {3;0; - 2} \right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB} .$

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {1;2;0} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ có phương trình là

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 4{x^3}$ là

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow a  = \left( { - 1;3;2} \right)$ và $\overrightarrow b  = \left( { - 3; - 1;2} \right)$. Tính $\overrightarrow a .\overrightarrow b .$

Trong không gian Oxyz, điểm $M\left( {3;4; - 2} \right)$ thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I\left( {1;0; - 3} \right)$và bán kính $R = 3$?

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( { - 1;2;0} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {4;0; - 5} \right)$ là

Nghiệm của phương trình $\left( {3 + i} \right)z + \left( {4 - 5i} \right) = 6 - 3i$ là

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 12$ và song song với mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$có phương trình là

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} - 2x$ và trục hoành.

Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của$f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ và $F\left( 0 \right) = 2,$ $F\left( 3 \right) = 7$. Tính $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx.$

Gọi ${z_1},\,\,{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} - 6z + 14 = 0$. Tính $S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.$

Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):\,\,2x + 2y - z - 11 = 0$ và $\left( Q \right):\,\,2x + 2y - z + 4 = 0$.

Cho $z = 1 + \sqrt 3 i$. Tìm số phức nghịch đảo của số phức $z$.

Tính tích phân $I = \int\limits_0^{2019} {{e^{2x}}dx} .$

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $\int\limits_0^{2019} {f\left( x \right)dx}  = 1$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f\left( {2019x} \right)dx} .$

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua 2 điểm $A\left( {1;2;0} \right)$, $B\left( {2;3;1} \right)$ và song song với trục $Oz$ có phương trình là

Cho $\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx}  = 10$ và $\int\limits_4^8 {f\left( x \right)dx}  = 6$. Tính $\int\limits_0^8 {f\left( x \right)dx} .$

Họ nguyên hàm của hàm số $y = x\sin x$ là

Cho số phức $z = 2 + 5i$. Điểm biểu diễn số phức z  trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là

Cho $\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx}  = 3$ và $\int\limits_2^{ - 1} {g\left( x \right)dx}  = 1$. Tính $I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} $

Trong không gian Oxyz, cho $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}$. Đường thẳng nào sau đây song song với d?

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^{5x - 3}}.$

Tìm các số thực $x,y$ thỏa mãn: $x + 2y + \left( {2x - 2y} \right)i = 7 - 4i$

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $M\left( { - 1;0;0} \right)$ và $N\left( {0;1;2} \right)$ là

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $A\left( { - 3;4} \right)$ biểu diễn cho số phức z. Tìm tọa độ điểm B biểu diễn cho số phức $\omega  = i\overline z $.

Cho số phức $z = 1 + 3i$. Tìm phần thực của số phức ${z^2}$.

Cho tích phân $I = \int\limits_3^5 {\frac{1}{{2x - 1}}dx}  = a\ln 3 + b\ln 5\,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{Q}} \right)$. Tính $S = a + b.$

Tính $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - 5} \right)dx} .$

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ$\overrightarrow a  = \left( { - 2;0;1} \right),$ $\overrightarrow b  = \left( {1;2; - 1} \right),$ $\overrightarrow c  = \left( {0;3; - 4} \right)$. Tính tọa độ vectơ $\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  - \overrightarrow b  + 3\overrightarrow c .$

Cho $f\left( x \right)$ là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 1$ và $\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{2}$.  Tính $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {\sin x} \right)dx} .$

Cho phương trình ${z^2} + bz + c = 0$ ẩn z và b, c là tham số thuộc tập số thực. Biết phương trình nhận $z = 1 + i$ là một nghiệm. Tính $T = b + c.$

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng $d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z + 4}}{{ - 5}}$ và $d':\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 4}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}.$

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$. Điểm $M$ nằm trên $\Delta $ thì điểm $M$ có dạng nào sau đây? 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

Tìm giá trị cực đại ${y_{CD}}$ và giá trị cực tiểu ${y_{CT}}$ của hàm số đã cho.

Trong hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( {1;0;0} \right);B\left( {0; - 1;0} \right);C\left( {0;0;2} \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là 

Đường thẳng $y = m$ tiếp xúc với đồ thị $\left( C \right):y =  - 2{x^4} + 4{x^2} - 1$ tại hai điểm phân biệt $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Giá trị của biểu thức ${y_A} + {y_B}$. 

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên tập $\mathbb{R}$? 

Cho hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}$. Mệnh đề đúng là 

Thế tích khối cầu bán kính $\mathbb{R}$ là 

Cho $f\left( x \right),g\left( x \right)$ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R},k \in \mathbb{R}$. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? 

Cho lăng trụ tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh $a$, chiều cao $2a.$ Tính thể tích khối lăng trụ. 

Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = x + \dfrac{4}{x}$ trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$ bằng 

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng chéo nhau ${d_1}:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 6}}{{ - 2}}$  và ${d_2}:\dfrac{{x - 4}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{3}$ . Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${d_1}$ và song song với ${d_2}$ là: 

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{1}$ cắt mặt phẳng $\left( P \right):2x - 3y + z - 2 = 0$ tại điểm $I\left( {a;b;c} \right)$. Khi đó $a + b + c$ bằng 

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng, biết ${u_2} + {u_{21}} = 50.$ Tính tổng của $22$ số hạng đầu tiên của dãy. 

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,$ tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABC$  

Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^{1 - 3x}} \ge \dfrac{{25}}{4}$. 

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {3;5;3} \right)$ và hai mặt phẳng $\left( P \right):2x + y + 2z - 8 = 0$, $\left( Q \right):x - 4y + z - 4 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với cả hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$. 

Trong hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A\left( { - 1;1;6} \right)$ và đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 2t\\z = 2t\end{array} \right.$ . Hình chiếu vuông góc của $A$ trên $\Delta $ là 

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I\left( {2; - 1; - 1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y - 2z + 3 = 0$. Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ 

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông $A'B'C'D'$ và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông $ABCD$. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. 

Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^9}$ trong khai triển nhị thức Newton của biểu thức ${\left( {3 + x} \right)^{11}}$. 

Cho số thực $a > 0;a \ne 1.$ Giá trị của ${\log _{{a^2}}}\left( {\sqrt[7]{{{a^3}}}} \right)$  bằng 

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} = 10\\{u_4} + {u_6} = 80\end{array} \right.$ . Tìm ${u_3}.$  

Cho khối nón $\left( N \right)$ đỉnh $S$, có chiều cao là $a\sqrt 3 $ và độ dài đường sinh là $3a$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua đỉnh $S$, cắt và tạo với mặt đáy của khối nón một góc ${60^0}$. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ và khối nón $\left( N \right)$. 

Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 4$ có đồ thị $\left( C \right)$ như hình vẽ bên và đường thẳng $d:y = {m^3} - 3{m^2} + 4$ (với $m$ là tham số). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại ba điểm phân biệt?

Cho các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| = 2$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w = 3 - 2i + \left( {4 - 3i} \right)z$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó 

Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có đáy làm tam giác đều cạnh $a,AA' = 2a$. Gọi $\alpha $ là góc giữa $AB'$ và $BC'$. Tính $\cos \alpha $. 

Cho hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.$  và ${d_2}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - m}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}$  (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để hai đường thẳng ${d_1};{d_2}$ cắt nhau. 

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$. 

Cho phương trình $\log _3^2x - 4{\log _3}x + m - 3 = 0$. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ${x_1} > {x_2} > 1$. 

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = mx + 1$ cắt đồ thị $\left( C \right):{x^3} - {x^2} + 1$ tại ba điểm $A;B\left( {0;1} \right);C$ phân biệt sao cho tam giác $AOC$ vuông tại $O\left( {0;0} \right)$? 

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( {1; - 1;2} \right)$ và hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z =  - 1\end{array} \right.,{d_2}:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{1}$. Đường thẳng $\Delta $ đi qua $M$ và cắt cả hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_\Delta }} \left( {1;a;b} \right)$, tính $a + b$. 

Hai người $A$ và $B$ ở cách nhau $180m$ trên một đoạn đường thẳng và cùng chuyển động thẳng theo một hướng với vận tốc biến thiên theo thời gian, A chuyển động với vận tốc ${v_1}\left( t \right) = 6t + 5\left( {m/s} \right)$, B chuyển dộng với vận tốc ${v_2}\left( t \right) = 2at - 3\left( {m/s} \right)$ ($a$ là hằng số), trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A,B bắt đầu chuyển động. Biết rằng lúc đầu A đuổi theo B và sau $10$ (giây) thì đuổi kịp. Hỏi sau $20$ giây, A cách B bao nhiêu mét?

Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là $AB = 8m.$ Người ta treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh $M,N$ nằm trên Parabol và hai đỉnh $P,Q$ nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) người ta mua hoa để trang trí với chi phí cho $1{m^2}$ cần số tiền mua hoa là $200.000$ đồng cho $1{m^2}.$ Biết $MN = 4m;MQ = 6m.$ Hỏi số tiền dùng để mua hoa trang trí chiếc cổng gần với số tiền nào sau đây?

Một hình hộp chữ nhật có chiều cao là $90cm$, đáy hình hộp là hình chữ nhật có chiều rộng là $50cm$ và chiều dài là $80cm$. Trong khối hộp có chứa nước, mực nước so với đáy hộp có chiều cao là $40cm$. Hỏi khi đặt vào khối hộp một khối trụ có chiều cao bằng chiều cao khối hộp và bán kính đáy là $20cm$ theo phương thẳng đứng thì chiều cao của mực nước so với đáy là bao nhiêu?

Cho hai số phức $z,w$ thay đổi thỏa mãn $\left| z \right| = 3,\left| {z - w} \right| = 1$. Biết tập hợp điểm của số phức $w$ là hình phẳng $H$. Tính diện tích $S$ của hình $H$. 

Cho $\int\limits_0^1 {\dfrac{{{9^x} + 3m}}{{{9^x} + 3}}dx}  = {m^2} - 1$ . Tính tổng tất cả các giá trị của tham số $m.$ 

Có bao nhiêu cách phân tích số ${15^9}$ thành tích của ba số nguyên dương, biết rằng các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính một lần?  

Cho các số thực $a,b > 1$ thỏa mãn ${a^{{{\log }_b}a}} + 16{b^{{{\log }_a}\left( {\frac{{{b^8}}}{{{a^3}}}} \right)}} = 12{b^2}.$ Giá trị của biểu thức $P = {a^3} + {b^3}$  là 

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, hình chiếu của vuông góc của đỉnh $S$ xuống mặt đáy nằm trong hình vuông $ABCD$. Hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right),\left( {SBC} \right)$ vuông góc với nhau; góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là ${60^0}$; góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ là ${45^0}$. Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$, tính $\cos \alpha $.

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 4m + 5} \right)x + 2019$  và $g\left( x \right) = \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^3} - \left( {2{m^2} + 4m + 9} \right){x^2} - 3x + 2$ (với $m$ là tham số). Hỏi phương trình $g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0$ có bao nhiêu nghiệm? 

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Tỉ số thể tích của khối tứ diện $AA'B'C$ và khối lăng trụ đã cho là: 

Số nghiệm của phương trình ${\log _2}\left( {\dfrac{{{{5.2}^x} - 8}}{{{2^x} + 2}}} \right) = 3 - x$ là 

Biết đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + 1$ có ba điểm cực trị $A\left( {0;1} \right),\,\,B,\,C$. Các giá trị của tham số m để $BC = 4$ là: 

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $AB = 3a,BC = 4a$. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc tạo giữa SC và mặt phẳng đáy bằng ${60^0}$. Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng 

Cho $\int {{{\left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right)}^2}dx = mx + n\ln \left| {x + 1} \right|}  + \dfrac{p}{{x + 1}} + C$. Giá trị của biểu thức $m + n + p$ bằng 

Trong không gian Oxyz, cho $A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {0;1;0} \right),\,C\left( {3;0;1} \right)$. Diện tích mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC làm đường tròn lớn là: 

Cho hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}}\,\,\left( C \right)$. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $y = x + m$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm thuộc hai nhánh là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, $AB = a,\,\,SA = 2a,\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)$. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là: 

Cho hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{2x - 2}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ (với ${x_0} > 1$) là điểm thuộc $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến của  $\left( C \right)$ tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho ${S_{\Delta OIB}} = 8{S_{\Delta OIA}}$ (trong đó O là gốc tọa độ, I là giao điểm hai tiệm cận). Giá trị của $S = {x_0} + 4{y_0}$ bằng