Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (( (x;y) )) thỏa mãn (x < y) và ((4^x) + (4^y) = 32y - 32x + 48).

Lưu lại

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $x < y$ và ${4^x} + {4^y} = 32y - 32x + 48$.

Đáp án: D

Theo bài ra ta có: ${4^x} + {4^y} = 32y - 32x + 48 \Leftrightarrow {4^x} + 32x = 32y - {4^y} + 48$.

Vì $x,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y \in {\mathbb{N}^*},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x < y$ nên ta thử các TH sau:

+ Với $x = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 2$ ta có: $4 + 32 = 64 - 16 + 48 \Leftrightarrow 36 = 96$ (Vô lí).

$ \Rightarrow x \ge 2 \Rightarrow VT = {4^x} + 32x \ge 80{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)$.

Xét hàm số $f\left( y \right) = 32y - {4^y} + 48$ ta có $f'\left( y \right) = 32 - {4^y}\ln 4 = 0 \Leftrightarrow y = {\log _4}\dfrac{{32}}{{\ln 4}}$.

BBT:

 Theo bài ra ta có: ${4^x} + {4^y} = 32y - 32x + 48 \Leftrightarrow {4^x} + 32x = 32y - {4^y} + 48$.

Vì $x,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y \in {\mathbb{N}^*},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x < y$ nên ta thử các TH sau:

+ Với $x = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 2$ ta có: $4 + 32 = 64 - 16 + 48 \Leftrightarrow 36 = 96$ (Vô lí).

$ \Rightarrow x \ge 2 \Rightarrow VT = {4^x} + 32x \ge 80{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)$.

Xét hàm số $f\left( y \right) = 32y - {4^y} + 48$ ta có $f'\left( y \right) = 32 - {4^y}\ln 4 = 0 \Leftrightarrow y = {\log _4}\dfrac{{32}}{{\ln 4}}$.

BBT:

 

Vì $y \in {\mathbb{N}^*}$ nên $f\left( y \right) = 32y - {4^y} + 48 \in {\mathbb{N}^*}$, dựa vào BBT $ \Rightarrow f\left( y \right) \le 97{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2)

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 80 \le f\left( y \right) \le 97 \Rightarrow 80 \le VP \le 97 \Rightarrow 80 \le VT \le 97}\\{ \Rightarrow 80 \le {4^x} + 32x \le 97{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)}\end{array}$.

Hàm số $g\left( x \right) = {4^x} + 32x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, do đó từ (*) ta suy ra $x = 2$.

Với $x = 2$ ta có $80 = 32y - {4^y} + 48 \Leftrightarrow 32y - {4^y} = 32$, sử dụng MODE7 ta tìm được $y = 3$.

Vậy có 1 cặp số $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn là $\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)$.

Chọn D.

Vì $y \in {\mathbb{N}^*}$ nên $f\left( y \right) = 32y - {4^y} + 48 \in {\mathbb{N}^*}$, dựa vào BBT $ \Rightarrow f\left( y \right) \le 97{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2)

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 80 \le f\left( y \right) \le 97 \Rightarrow 80 \le VP \le 97 \Rightarrow 80 \le VT \le 97}\\{ \Rightarrow 80 \le {4^x} + 32x \le 97{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)}\end{array}$.

Hàm số $g\left( x \right) = {4^x} + 32x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, do đó từ (*) ta suy ra $x = 2$.

Với $x = 2$ ta có $80 = 32y - {4^y} + 48 \Leftrightarrow 32y - {4^y} = 32$, sử dụng MODE7 ta tìm được $y = 3$.

Vậy có 1 cặp số $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn là $\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)$.

Chọn D.

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên