Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của (m) không vượt quá 2021 để phương trình ((4^(x - 1)) - m(.2^(x - 2)) + 1 = 0) có nghiệm?

Lưu lại

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ không vượt quá 2021 để phương trình ${4^{x - 1}} - m{.2^{x - 2}} + 1 = 0$ có nghiệm?

Đáp án: B

Ta có ${4^{x - 1}} - m{.2^{x - 2}} + 1 = 0 \Leftrightarrow 4.{\left( {{2^{x - 2}}} \right)^2} - m{.2^{x - 2}} + 1 = 0$.

Đặt $t = {2^{x - 2}} > 0$, phương trình đã cho trở thành $4{t^2} - mt + 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{4{t^2} + 1}}{t} = g\left( t \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {t > 0} \right)$.

 

Xét hàm số $g\left( t \right) = \dfrac{{4{t^2} + 1}}{t} = 4t + \dfrac{1}{t}$ có $g'\left( t \right) = 4 - \dfrac{1}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}$.

BBT:

 Ta có ${4^{x - 1}} - m{.2^{x - 2}} + 1 = 0 \Leftrightarrow 4.{\left( {{2^{x - 2}}} \right)^2} - m{.2^{x - 2}} + 1 = 0$.

Đặt $t = {2^{x - 2}} > 0$, phương trình đã cho trở thành $4{t^2} - mt + 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{4{t^2} + 1}}{t} = g\left( t \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {t > 0} \right)$.

 

Xét hàm số $g\left( t \right) = \dfrac{{4{t^2} + 1}}{t} = 4t + \dfrac{1}{t}$ có $g'\left( t \right) = 4 - \dfrac{1}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}$.

BBT:

 

Dựa vào BBT ta thấy phương trình có nghiệm $t > 0 \Leftrightarrow m \ge 4$.

Kết hợp điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in {\mathbb{Z}^ + }}\\{m \le 2021}\end{array}} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {4;5;6;...;2020;2021} \right\}$.

Vậy có 2018 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Dựa vào BBT ta thấy phương trình có nghiệm $t > 0 \Leftrightarrow m \ge 4$.

Kết hợp điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in {\mathbb{Z}^ + }}\\{m \le 2021}\end{array}} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {4;5;6;...;2020;2021} \right\}$.

Vậy có 2018 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên