Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh (a). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là (a). Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

Tìm $m$ để đường thẳng $y = 2x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 3}}{{x + 1}}$ tại hai điểm $M,\;N$ sao cho độ dài MN nhỏ nhất:

Cho khối chóp tam giác có thể tích bằng 6. Gọi $M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CA,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AB$. Thể tích của khối chóp S.MNP là?

Gọi $A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x - 2$. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B$ là:

 Cho hàm số $y = \dfrac{{{x^3}}}{3} + 3{x^2} - 2$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến có hệ số góc $k = {\rm{\;}} - 9?$

Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là $a$. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

Khối lăng trụ ABCA'B'C' có đáy là tam giác đều, a là độ dài cạnh đáy. Góc giữa cạnh bên và đáy là ${30^\circ }.$ Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm của BC. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình bên. Số nghiệm dương phân biệt của phương trình $2f\left( x \right) + 7 = 0$ là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, SC tạo với đáy một góc ${45^0}$ . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

Biết rằng phương trình $\sqrt {2 - x}  + \sqrt {2 + x}  - \sqrt {4 - {x^2}}  = m$ có nghiệm khi $m \in \left[ {a;b} \right]$ với $a,b \in \mathbb{R}$. Khi đó giá trị của $T = (a + 2)\sqrt 2  + b$ là

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số  để đường thẳng $y =  - 2x + m$  cắt đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ tại hai điểm phân biệt là:

Cho hàm bậc ba $y = f\left( x \right)$ có đồ thị đạo hàm $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới. Hàm số nghịch biến trên khoảng:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở $B$, cạnh $AC = 2a$. Cạnh SA vuông góc với mặt đáy $(ABC)$, tam giác SAB cân. Tính thể tích hình chóp S.ABC theo $a$.

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$ song song với đường thẳng $y = 9x - 14.$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \dfrac{1}{4}{x^4} - \dfrac{{27}}{2}{x^2} + 3$ trên đoạn $\left[ {0;80} \right]$ bằng:

Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a và cạnh bên tạo với đáy một góc ${45^0}$. Tính theo $a$ thể tích khối chóp S.ABC.

Cho hàm số $y = {\rm{\;}} - {x^4} + 2{x^2} + 3.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BC = 2AB = 2a.$ Cạnh bên SC vuông góc với đáy, góc giữa SA và đáy bằng ${60^0}.$ Thể tích khối chóp đó bằng:

Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi $V,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} V'$ lần lượt là thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D' và thể tích của khối chóp A'ABC'D'. Khi đó:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ là:

Cho hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}$. Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm $M\left( {2;3} \right).$

Điểm cực tiểu của hàm số $y = {x^3} - 3x - 2$ là:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, $SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$, tam giác ABC đều cạnh bằng $a$ (minh họa như hình dưới).

Góc  tạo bởi giữa mặt phẳng$(SBC)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + x} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in \mathbb{R}$. Hỏi hàm số $y = f\left( x \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {2x - 7} \right)}}$. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

Khối chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân tại $B$ và $AB = a.$$SA \bot \left( {ABC} \right)$. Góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^0}$. Khi đó khoảng cách từ  $A$đến $\left( {SBC} \right)$là:

Cho hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm là $f'\left( x \right) = {x^2}\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)$. Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?

Hàm số $y = {x^3} - 3x + 5$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = {\rm{\;}} - \dfrac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - \left( {3 + 2m} \right)x - 2020$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là:

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên khoảng $\left( {0;\sqrt 2 } \right)$?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Biết rằng hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.

Tính giá trị $f\left( {3a + 2b + c} \right)$.

Cho phương trình ${z^2} - mz + 2m - 1 = 0$ trong đó $m$ là tham số phức. Giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm ${z_1},{z_2}$ thỏa mãn $z_1^2 + z_2^2 =  - 10$ là: 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 3}}{3}$  và ${d_2}:\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z - 2}}{6}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng? 

Một người gửi số tiền 2 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất $0,65\% /$ tháng. Biết rằng nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Số tiền người đó lãnh được sau hai năm, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không đổi là: 

Cho số phức $z$ thỏa mãn $3z + 2\overline z  = {\left( {4 - i} \right)^2}$. Mô đun của số phức $z$ là 

Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$. Khẳng định nào sau đây là đúng? 

Cho khối tứ diện $OABC$ với $OA,OB,OC$ vuông góc từng đôi một và $OA = a;OB = 2a;OC = 3a.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $AC,BC.$ Thể tích của khối tứ diện $OCMN$ theo $a$ bằng 

Đối với hàm số $y = \ln \frac{1}{{x + 1}}$, khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = {x^3},y = 4x$ là: 

Một hình nón có đỉnh $S$, đáy là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $O$, bán kính $R$ bằng với đường cao của hình nón. Tỉ số thể tích của hình nón và hình cầu ngoại tiếp hình nón bằng: 

Cho hai số phức ${z_1} = 1 + 2i$ và ${z_2} = 2 - 3i$. Phần ảo của số phức $w = 3{z_1} - 2{z_2}$ là: 

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{m}{3}{x^3} + 2{x^2} + mx + 1$ có $2$ điểm cực trị thỏa mãn ${x_{CD}} < {x_{CT}}$. 

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ sao cho $f'\left( x \right) < 0;\,\forall x > 0.$ Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng? 

Cho hàm số $y =  - {x^4} + 4{x^2} + 10$ và các khoảng sau:

(I): $\left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right)$ 

(II): $\left( { - \sqrt 2 ;0} \right)$            

(III): $\left( {0;\sqrt 2 } \right)$ 

Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y =  - t\\z =  - 2 + 3t\end{array} \right.$ cắt nhau. Phương trình mặt phẳng chứa $d$ và $d'$ là 

Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc ${60^0}$? 

Cho 4 điểm $A\left( {3; - 2; - 2} \right);B\left( {3;2;0} \right);C\left( {0;2;1} \right);D\left( { - 1;1;2} \right)$. Mặt cầu tâm $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ có phương trình là 

Xác định tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện: $\left| {\overline z  + 1 - i} \right| \le 4$. 

Nếu ${\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)^x} > \sqrt 3  + \sqrt 2 $  thì 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai véc tơ $\overrightarrow a \left( {2;1;0} \right)$ và $\overrightarrow b \left( { - 1;m - 2;1} \right)$. Tìm $m$ để $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b $ 

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 3a,AD = 4a,AA' = 4a$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $CC'D$. Mặt phẳng chứa $B'G$ và song song với $C'D$ chia khối hộp thành $2$ phần. Gọi $\left( H \right)$ là khối đa diện chứa $C$. Tính tỉ số $\frac{{{V_{\left( H \right)}}}}{V}$ với $V$ là thể tích khối hộp đã cho. 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 36,$ điểm $I\left( {1;2;0} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{z}{{ - 1}}.$ Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $d,N$ thuộc $\left( S \right)$ sao cho $I$ là trung điểm của $MN.$ 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Khi đó giá trị của biểu thức $\int\limits_0^4 {f'\left( {x - 2} \right)dx}  + \int\limits_0^2 {f'\left( {x + 2} \right)dx} $ bằng bao nhiêu?

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = 11m;BC = AD = 20m;BD = AC = 21m.$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$ 

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + i + 1} \right| = \left| {\overline z  - 2i} \right|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$. 

Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 1$ có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc $O$ tạo thành một tứ giác nội tiếp. 

Có tất cả bao nhiêu số dương $a$ thỏa mãn đẳng thức ${\log _2}a + {\log _3}a + {\log _5}a = {\log _2}a.{\log _3}a.{\log _5}a$? 

Gọi $A,B$ là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = \frac{{x + 3}}{{x - 3}}$ , độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $AB$ là 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$ và hai điểm $A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {3; - 1; - 5} \right)$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ và cắt đường thẳng $\Delta $ sao cho khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng $d$ là lớn nhất. Khi đó, gọi $M\left( {a;b;c} \right)$ là giao điểm của $d$ với đường thẳng $\Delta $. Giá trị $P = a + b + c$ bằng 

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {1;2} \right]$ và thỏa mãn $f\left( x \right) > 0$ khi $x \in \left[ {1;2} \right]$. Biết $\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx}  = 10$ và $\int\limits_1^2 {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx}  = \ln 2$. Tính $f\left( 2 \right)$. 

Giả sử viên phấn viết bảng có dạng hình trụ tròn xoay đường kính đáy bằng $1cm$, chiều dài $6cm$. Người ta làm những hộp carton đựng phấn dạng hình hộp chữ nhật có kích thước $6 \times 5 \times 6$. Muốn xếp $350$ viên phấn vào $12$ hộp ta được kết quả nào trong các khả năng sau: 

Số nghiệm của phương trình ${\log _2}x.{\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2{\log _2}x$ là: 

Cho phương trình ${2^{\left| {\frac{{28}}{3}x + 1} \right|}} = {16^{{x^2} - 1}}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng? 

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình ${\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _2}\left( {{{2.5}^x} - 2} \right) \ge m$ có tập nghiệm là $\left[ {1; + \infty } \right)$? 

Một hình lập phương có dện tích mặt chéo bằng ${a^2}\sqrt 2 $. Gọi $V$ là thể tích khối cầu và $S$ là diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói trên. Khi đó tích $S.V$ bằng 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left( {1;1;1} \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất. Khi đó, mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm nào sau đây? 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 4 - t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.$, ${d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{z}{{ - 3}}$ và ${d_3}:\frac{{x + 1}}{5} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$ Gọi $\Delta $ là đường thẳng cắt ${d_1},{d_2},{d_3}$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $AB = BC$. Phương trình đường thẳng $\Delta $ là 

Cho số phức $z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} \right)^m},$ $m$ nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị $m \in \left[ {1;50} \right]$ để $z$ là số thuần ảo? 

Cho $\overrightarrow a  = \left( {2;1;3} \right),\,\,\overrightarrow b  = \left( {4; - 3;5} \right),\,\,\overrightarrow c  = \left( { - 2;4;6} \right)$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow u  = \overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  - \overrightarrow c $ là: 

Cho hai số phức ${z_1},\,\,{z_2}$ thỏa mãn các điều kiện $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2$ và $\left| {{z_1} + 2{z_2}} \right| = 4$. Giá trị của $\left| {2{z_1} - {z_2}} \right|$ bằng: 

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 2,\,\,AD = 2\sqrt 3 $ và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$. Quay $\left( P \right)$ một vòng quanh đường thẳng $BD$. Khối tròn xoay được tạo thành có thể tích bằng: 

Tập nghiệm của bất phương trình $\left| {{{\left| x \right|}^3} - 3{x^2} + 2} \right| > 2$ là: 

Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A\left( {1;0} \right)$ của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ là: 

Cho hàm số $y = \dfrac{1}{2}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 2\,\,\left( C \right)$. Xét hai điểm $A\left( {a;{y_A}} \right),\,\,B\left( {b,\,\,{y_B}} \right)$ phân biệt của đồ thị $\left( C \right)$ mà tiếp tuyến tại $A$ và $B$ song song. Biết rằng đường thẳng $AB$ đi qua $D\left( {5;3} \right)$. Phương trình của $AB$ là: 

Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left( {4; - 2;6} \right),\,\,B\left( {2;4;2} \right)$, $M \in \left( \alpha  \right):\,\,x + 2y - 3z - 7 = 0$ sao cho $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} $  nhỏ nhất. Tọa độ của $M$ bằng: 

Số điểm cực trị của hàm số $y = \left| {\sin x - \dfrac{x}{4}} \right|,\,\,x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)$ là: