Đồ thị hàm số (y = dfrac((3x - 1))((x - 2))) cắt đường thẳng (y = 2x + m) ((m) là tham số) tại hai điểm phân biệt (A) và (B), giá trị nhỏ nhất của (AB) bằng

Lưu lại

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{3x - 1}}{{x - 2}}$ cắt đường thẳng $y = 2x + m$ ($m$ là tham số)  tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$, giá trị nhỏ nhất của $AB$ bằng

Đáp án: D

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là: $\dfrac{{3x - 1}}{{x - 2}} = 2x + m$.

$ \Leftrightarrow 3x - 1 = \left( {2x + m} \right)\left( {x - 2} \right)$ (vì $x = 2$ không thỏa phương trình).

$ \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 7} \right)x + 1 - 2m = 0$

Ta có: $\Delta  = {m^2} + 2m + 41 > 0,\forall m \in \mathbb{R}$

Hai đường luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$.

Gọi $A\left( {{x_1};2{x_1} + m} \right),B\left( {{x_2};2{x_2} + m} \right).$ Khi đó: ${x_1} + {x_2} = \dfrac{{7 - m}}{2},{x_1}{x_2} = \dfrac{{1 - 2m}}{2}$

$ \Rightarrow AB = \sqrt 5 \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} $$ = \sqrt 5 \sqrt {{{\left( {\dfrac{{7 - m}}{2}} \right)}^2} - 4\left( {\dfrac{{1 - 2m}}{2}} \right)} $ $ = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {{m^2} + 2m + 41} $ $ = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 40} $

$ \Rightarrow AB \ge \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {40}  = 5\sqrt 2 $.

Đẳng thức xảy ra khi $m =  - 1$

Chọn D.

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên