Gọi ((m_0)) là giá trị của tham số (m) để đồ thị hàm số (y = (x^4) + 2m(x^2) + 2) có ba điểm cực trị (A,,B,,C) tạo thành một tam giác sao cho trục (Ox) chia tam giác đó thành (2) phần có diện tích lần lượt bằng ((S_1),,,(S_2)) và (dfrac(((S_1)))(((S_2))) = dfrac(1)(3)), trong đó ((S_2)) là diện tích của phần nằm dưới (Ox). Khẳng định nào dưới đây đúng?

Lưu lại

Gọi ${m_0}$ là giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = {x^4} + 2m{x^2} + 2$ có ba điểm cực trị $A,\,B,\,C$ tạo thành một tam giác sao cho trục $Ox$ chia tam giác đó thành $2$ phần có diện tích lần lượt bằng ${S_1},\,\,{S_2}$ và $\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{1}{3}$, trong đó ${S_2}$ là diện tích của phần nằm dưới $Ox$. Khẳng định nào dưới đây đúng? 

Đáp án: A

TXĐ:  $D = \mathbb{R}$

Ta có:

$\begin{array}{l}y = {x^4} + 2m{x^2} + 2\\ \Rightarrow y' = 4{x^3} + 4mx = 4x\left( {{x^2} + m} \right)\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} =  - m\end{array} \right.\end{array}$

Để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị thì phương trình ${x^2} =  - m$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Suy ra $m < 0$

Khi đó, 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là  $A\left( {0;2} \right);\,\,\,B\left( {\sqrt { - m} ; - {m^2} + 2} \right);\,\,\,C\left( { - \sqrt { - m} ; - {m^2} + 2} \right)$.

Phương trình đường thẳng $BC$ là   $y =  - {m^2} + 2$

Gọi giao$AB$ và $AC$ với trục $Ox$ lần lượt là $M,\,\,N$. Suy ra ${S_1} = {S_{\Delta AMN}}$

Ta có:

$\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{MNBC}}}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{4}$

 Ta thấy $Ox//BC$ hay $MN//BC$. Gọi $H,\,\,K$ lần lượt là giao điểm của $Oy$ với  $BC$ và $MN$.

$A$ nằm trên $Ox$ mà $Ox//BC$ nên $AH \bot BC,\,\,\,AK \bot MN$

Suy ra     $\dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{AK}}{{AH}}} \right)^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{AK}}{{AH}} = \dfrac{1}{2}$

$A\left( {0;2} \right)$, $K$ là giao điểm của $Oy$ và $MN$ mà $MN \in Ox$ nên $K\left( {0;0} \right)$

Suy ra $AK = 2$ $ \Rightarrow AH = 4$

$H$ là giao của $BC$ và $Ox$ nên $H\left( {0; - {m^2} + 2} \right)$, $H$ nằm dưới trục hoành. Suy  ra

$ - {m^2} + 2 =  - 2 \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m =  \pm 2$

Mà $m < 0$ nên $m =  - 2$

Vậy ${m_0} \in \left( { - 3;1} \right)$

Đáp án  A

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên