Hãy tìm số nghiệm (x) thuộc ([ (0;100) ]) của phương trình sau: ((2^(cos pi x - 1)) + dfrac(1)(2) = cos pi x + (log _4)( (3cos pi x - 1) ))

Lưu lại

Hãy tìm số nghiệm $x$ thuộc $\left[ {0;100} \right]$ của phương trình sau: ${2^{\cos \pi x - 1}} + \dfrac{1}{2} = \cos \pi x + {\log _4}\left( {3\cos \pi x - 1} \right)$

Đáp án: A

ĐK : $3\cos \pi x - 1 > 0 \Leftrightarrow \cos \pi x > \dfrac{1}{3}$

Đặt $t = \cos \pi x$$ \Rightarrow \dfrac{1}{3} < \cos \pi x \le 1 \Rightarrow \dfrac{1}{3} < t \le 1$

Phương trình trở thành ${2^{t - 1}} + \dfrac{1}{2} = t + {\log _4}\left( {3t - 1} \right)$$ \Leftrightarrow {2^{t - 1}} + \dfrac{1}{2} - t - {\log _4}\left( {3t - 1} \right) = 0$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {2^{t - 1}} + \dfrac{1}{2} - t - {\log _4}\left( {3t - 1} \right)$ trên $\left( {\dfrac{1}{3};1} \right]$ có: $f'\left( t \right) = {2^{t - 1}}\ln 2 - 1 - \dfrac{3}{{\left( {3t - 1} \right)\ln 4}}$

Do $t \le 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{t - 1}} \le 1}\\{3t - 1 \le 2}\end{array}} \right.$$ \Rightarrow f'\left( t \right) < 1.\ln 2 - 1 - \dfrac{3}{{2.\ln 4}} < 0$ với mọi $t \in \left( {\dfrac{1}{3};1} \right]$.

Do đó hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( {\dfrac{1}{3};1} \right]$.

Dễ thất $f\left( 1 \right) = {2^{1 - 1}} + \dfrac{1}{2} - 1 - {\log _4}2 = 0$ nên phương trình $f\left( t \right) = 0$ có nghiệm duy nhất $t = 1$.

$ \Rightarrow \cos \pi x = 1 \Leftrightarrow \pi x = k2\pi {\rm{\;}} \Leftrightarrow x = 2k$.

Mà $0 \le x \le 100 \Leftrightarrow 0 \le 2k \le 100 \Leftrightarrow 0 \le k \le 50$ .

Vậy có 51 giá trị nguyên của k ứng với 51 nghiệm.

Chọn A.

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên