Hãy tìm tập hợp (S) tất cả các giá trị của tham số thực (m) để hàm số (y = frac(1)(3)(x^3) - ( (m + 1) )(x^2) + ( ((m^2) + 2m) )x - 3) nghịch biến trên khoảng (( ( - 1;1) )).

Lưu lại

Hãy tìm tập hợp $S$ tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} \right)x - 3$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$.

Đáp án: C

TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Ta có: $y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m$.

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$ thì $y' \le 0\,,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)$

$ \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m \le 0$ với $\forall x \in \left( { - 1;1} \right)$.

Đặt $f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m$.

Để $f\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} \le  - 1 < 1 \le {x_2}$. Khi đó ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} \le  - 1 < {x_2}\\{x_1} < 1 \le {x_2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} - 2m > 0\\{x_1} + 1 \le 0 < {x_2} + 1\\{x_1} - 1 < 0 \le {x_2}\end{array} \right.$  $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) \le 0\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \le 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \le 0\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \le 0\end{array} \right.\,\,\,\left( * \right)$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 2m\end{array} \right.$.

Khi đó $\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 2\left( {m + 1} \right) + 1 \le 0\\{m^2} + 2m - 2\left( {m + 1} \right) + 1 \le 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 3 \le 0\\{m^2} - 1 \le 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le m \le  - 1\\ - 1 \le m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1$.

Vậy $S = \left\{ { - 1} \right\}.$

Chọn C.

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên