Tìm hệ số của số hạng chứa (((rm(x))^(26))) trong khai triển nhị thức Newton của ((( (frac(1)(((x^4))) - 2((rm(x))^7)) )^n)) biết rằng: (C_(2n + 1)^(n + 1) + C_(2n + 1)^(n + 2) + ... + C_(2n + 1)^(2n) = (2^(20)) - 1) (n nguyên dương).

Lưu lại

Tìm hệ số của số hạng chứa ${{\rm{x}}^{26}}$ trong khai triển nhị thức Newton của ${\left( {\frac{1}{{{x^4}}} - 2{{\rm{x}}^7}} \right)^n}$ biết rằng: $C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + ... + C_{2n + 1}^{2n} = {2^{20}} - 1$ (n nguyên dương). 

Đáp án: A

Ta có $C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + ... + C_{2n + 1}^{2n} = {2^{20}} - 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + ... + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{20}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{2^{2n + 1}}}}{2} = {2^{20}}\\ \Rightarrow n = 10\end{array}$

Khi đó ${\left( {\frac{1}{{{x^4}}} - 2{x^7}} \right)^n} = {\left( {\frac{1}{{{x^4}}} - 2{x^7}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k \to 0}^{10} {C_{10}^k} .{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^k}.{\left( {2{x^7}} \right)^{10 - k}}$

$ \Rightarrow {\left( {\frac{1}{{{x^4}}} - 2{x^7}} \right)^n} = \sum {C_{10}^k{{.2}^{10 - k}}.{x^{70 - 11k}}} $

Số hạng chứa ${x^{26}}$ là $70 - 11k = 26 \Rightarrow k = 4$

Hệ số của số hạng chứa ${x^{26}}$ là $C_{10}^4{.2^{10 - 4}} = 13440$

Chọn A.

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên