Tìm (m) để đường thẳng (y = 2x + m) cắt đồ thị hàm số (y = dfrac((x + 3))((x + 1))) tại hai điểm (M,;N) sao cho độ dài MN nhỏ nhất:

Lưu lại

Tìm $m$ để đường thẳng $y = 2x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 3}}{{x + 1}}$ tại hai điểm $M,\;N$ sao cho độ dài MN nhỏ nhất:

Đáp án: A

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số là:

$2x + m = \dfrac{{x + 3}}{{x + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x \ne {\rm{\;}} - 1} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - 3 = 0\;\;\;\left( * \right)$

Ta có: $\Delta {\rm{\;}} = {\left( {m + 1} \right)^2} - 8\left( {m - 3} \right) = {m^2} - 6m + 25 = {\left( {m - 3} \right)^2} + 16 > 0\;\;\forall m$

$ \Rightarrow \left( * \right)$ luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\;{x_2}$  với mọi $m$.

Áp dụng định kí Vi-ét ta có:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = {\rm{\;}} - \dfrac{{m + 1}}{2}}\\{{x_1}{x_2} = \dfrac{{m - 3}}{2}}\end{array}} \right..$

Gọi $M\left( {{x_1};\;2{x_1} + m} \right),\;N\left( {{x_2};\;2{x_2} + m} \right)$ là hai giao điểm của 2 đồ thị hàm số.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{M{N^2} = {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {2{x_2} - 2{x_1}} \right)}^2} = 5{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}}\\{ = 5\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 5\left[ {\dfrac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} - 4.\dfrac{{m - 3}}{2}} \right]}\\{ = \dfrac{5}{4}\left( {{m^2} + 2m + 1 - 8m + 24} \right) = \dfrac{5}{4}\left( {{m^2} - 6m + 25} \right)}\\{ = \dfrac{5}{4}{{\left( {m - 3} \right)}^2} + 20 \ge 20\;\;\forall m.}\end{array}$

Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3.$

Chọn A.

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên