Tìm tất cả giá trị của (m) để hàm số (y = (x^3) + 3(x^2) + mx + m) nghịch biến trên một khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1.

Lưu lại

Tìm tất cả giá trị của $m$ để hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m$ nghịch biến trên một khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1. 

Đáp án: C

TXĐ :   $D = \mathbb{R}$

Ta có :

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x + m\end{array}$

Phương trình $f'\left( x \right)$ có hệ số ${x^2}$ dương nên để hàm số $y = f\left( x \right)$ có khoảng nghịch biến thì phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó  

Khi đó phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{m}{3}\end{array} \right.$

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {{x_1};{x_2}} \right)$

Để khoảng nghịch biến có độ dài không  nhỏ hơn 1 nên  ${x_2} - {x_1} \ge 1$

Ta có :

$\begin{array}{l}{x_2} - {x_1} \ge 1\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \ge 1\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^2} - 4\dfrac{m}{3} \ge 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4m}}{3} \le 3 \Leftrightarrow m \le \dfrac{9}{4}\left( {t/m} \right)\end{array}$

Chọn C

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên