Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (A( - 3;2;2);B( - 5;3;7))và mặt phẳng (P) : (x + y + z = 0). Điểm (M(a;b;c))thuộc (( P ))sao cho (| (2overarrow (MA) - overarrow (MB) ) |) có giá trị nhỏ nhất. Tính (T = 2a + b - c)

Lưu lại

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A( - 3;2;2);B( - 5;3;7)$và mặt phẳng (P) : $x + y + z = 0$. Điểm $M(a;b;c)$thuộc $\left( P \right)$sao cho $\left| {2\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right|$ có giá trị nhỏ nhất. Tính $T = 2a + b - c$

Đáp án: C

Gọi $I\left( {x;y;z} \right)$ sao cho $2\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {IB} $

Ta có $\overrightarrow {IA}  = \left( { - 3 - x;2 - y;2 - z} \right);\overrightarrow {IB}  = \left( { - 5 - x;3 - y;7 - z} \right)$

Suy ra $2\overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {IB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( { - 3 - x} \right) =  - 5 - x\\2\left( {2 - y} \right) = 3 - y\\2\left( {2 - z} \right) = 7 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\\z =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;1; - 3} \right)$

Khi đó ta có $\left| {2\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {MI}  - \overrightarrow {IB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IB} } \right|$$ = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI$

Khi đó $\left| {2\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right|$ nhỏ nhất khi $IM$ nhỏ nhất.

Nhận thấy $I \notin \left( P \right) \Rightarrow IM$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( P \right).$

+ Đường thẳng $d$ qua $I\left( { - 1;1; - 3} \right)$ và nhận $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1;1;1} \right)$ làm VTCP là $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 + t\\z =  - 3 + t\end{array} \right.$

+ $M$ là giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$ nên tọa độ điểm $M$ thỏa mãn hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 + t\\z =  - 3 + t\\x + y + z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 + t\\z = 3 + t\\ - 1 + t + 1 + t - 3 + t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = 0\\y = 2\\z =  - 2\end{array} \right.$ suy ra $M\left( {0;2; - 2} \right)$

$T = 2a + b - c = 2.0 + 2 - \left( { - 2} \right) = 4.$

Chọn C

TOP THÀNH VIÊN NỔI BẬT

    Xem top 100 thành viên