Trong không gian với hệ trục tọa độ (Oxyz), cho điểm (I( (3;4; - 5) )) và mặt phẳng (( P )) có phương trình (2x + 6y - 3z + 4 = 0). Phương trình mặt cầu (( S )) có tâm (I) và tiếp xúc với (( P )) là:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a,$ $x = b$ là:

Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình ${z^2} - 2z + 5 = 0$ là:

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ được giới hạn bởi các đường $x = 0,$ $x = \pi ,$ $y = 0$ và $y =  - \cos x$. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục Ox được tính theo công thức:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {1; - 4; - 3} \right)$ và $\overrightarrow n  = \left( { - 2;5;2} \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow n $ làm vecto pháp tuyến là

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 3$ là:

Cho hai hàm số $y = f\left( x \right),$ $y = g\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên và các đường thẳng $x = a,$ $x = b$ là:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {1;9} \right]$, thỏa mãn $\int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx = 7} $ và $\int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx = 3} $. Tính giá trị biểu thức $P = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_5^9 {f\left( x \right)dx.} $

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {2;3;5} \right)$. Tìm tọa độ điểm A’ là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy.

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 2} \right).$

Gọi ${z_1};\,\,{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình $2{z^2} + 10z + 13 = 0$, trong đó ${z_1}$ có phần ảo dương. Số phức $2{z_1} + 4{z_2}$ bằng

Số phức $z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}}$ có phần thực là

Trong không gian Oxyz, một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1$ là:

Phần thực của số phức $\left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)$ là:

Cho các số phức ${z_1} = 3 + 4i,$ ${z_2} = 5 - 2i$. Tìm số phức liên hơp $\overline z $ của số phức $z = 2{z_1} + 3{z_2}$.

Trong không gian Oxyz, các vecto đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là $\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\,\overrightarrow k $ cho điểm $M\left( {3; - 4;12} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm $A\left( {3;1;2} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $x + y + 3z + 5 = 0$ có phương trình là

$\int {{e^{ - 2x + 1}}dx} $ bằng

Tính môđun $\left| z \right|$ của số phức $z = \left( {2 + i} \right){\left( {1 + i} \right)^2} + 1$.

Cho ${z_1};\,\,{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} - 2z + 5 = 0$, biết ${z_1} - {z_2}$ có phần ảo là số thực âm. Tìm phần ảo của số phức ${\rm{w}} = 2z_1^2 - z_2^2$.

Cho tích phân $I = \int\limits_1^e {\frac{{2\ln x + 3}}{x}dx} $. Nếu đặt $t = \ln x$ thì:

Biết $\int\limits_1^3 {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}dx}  = a\ln 2 + b$ với $a,\,\,b$ là các số hữu tỉ. Khi đó ${b^2} - 2a$ bằng

Cho hai số phức ${z_1} =  - 1 + 2i;$ ${z_2} = 1 + 2i$. Tinh $T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}$

Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx =  - \frac{a}{b} + \frac{\pi }{c}} $ với $a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}$, phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $T = a + b + c.$

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {1;2;1} \right)$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 2z + 7 = 0$ theo một đường tròn có đường kính bằng 8. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I\left( {3;4; - 5} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x + 6y - 3z + 4 = 0$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với $\left( P \right)$ là:

Trong không gian Oxyz, biết $\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)$ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua $A\left( {2;1;5} \right)$ và chứa trục Ox. Tính $k = \frac{b}{c}.$

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} - x$ và đồ thị hàm số $y = x - {x^2}$.

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4$ và các đường thẳng $y = 0,$ $x =  - 1,$ $x = 5$ bằng:

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A\left( {0;1; - 1} \right),$ $B\left( {1;1;2} \right),$ $C\left( {1; - 1;0} \right)$ và $D\left( {0;0;1} \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ song song với mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ và chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện sao cho tỉ số thể tích của khối đa diện có chứa điểm A và khối tứ diện ABCD bằng $\frac{1}{{27}}$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( {0;0;1} \right),$ $B\left( {0;2;0} \right),$ $C\left( {3;0;0} \right)$. Gọi $H\left( {x;y;z} \right)$ là trực tâm của tam giác ABC. Tính $k = x + 2y + z.$

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {e^{2x}},$ $y = 0,$ $x = 0,$ $x = 2$ được biểu diễn bởi $\frac{{{e^a} - b}}{c}$ với $a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}$. Tính $P = a + 3b - c.$

Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {\tan ^2}x$ biết phương trình $F\left( x \right) = 0$ có một nghiệm bằng $\frac{\pi }{4}.$

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm $A\left( {1;4;4} \right)$ và $B\left( { - 1;0;2} \right).$

Trong không gian Oxyz,  cho đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$. Đường thẳng đi qua điểm $M\left( {2;1; - 1} \right)$ và song song với đường thẳng d có phương trình là:

Trong không gian Oxyz, tính diện tích S của tam giác ABC, biết $A\left( {2;0;0} \right),$ $B\left( {0;3;0} \right)$ và $C\left( {0;0;4} \right)$

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = \sqrt x \cos \frac{x}{2},\,\,y = 0,\,\,x = \frac{\pi }{2},\,\,x = \pi $. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng $\left( H \right)$ quay xung quanh trục Ox.

Số phức liên hợp $\overline z $ của số phức $z = \frac{{4 + 6i}}{{1 - i}}$ là:

Tính tích phân $I = \int\limits_2^7 {\sqrt {x + 2} dx} .$

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}$ và $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}$. Gọi M là trung điểm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng trên. Tính độ dài đoạn thẳng OM.

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y =  - {3^x},$ $y = 0,$ $x = 0,$ $x = 4$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $\left( -\,\infty ;+\,\infty  \right)\,\,?$

Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a,$ cạnh bên $A{A}'=a,$ góc giữa đường thẳng $A{A}'$ và mặt phẳng đáy bằng ${{30}^{0}}.$ Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo $a.$ 

Phép tịnh tiến biến gốc tọa độ $O$ thành điểm $A\left( 1;2 \right)$ sẽ biến điểm $A$ thành điểm ${A}'$ có tọa độ là: 

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

- Nếu $a\subset \,\,mp\,\left( P \right)$ và $mp\,\left( P \right)$//$mp\,\left( Q \right)$ thì $a$//$mp\,\left( Q \right)$     $\left( I \right).$

- Nếu $a\subset \,\,mp\,\left( P \right),\,\,b\subset \,\,mp\,\left( Q \right)$ và $mp\,\left( P \right)$//$mp\,\left( Q \right)$ thì $a$//$b$    $\left( II \right).$

- Nếu $a$//$mp\,\left( P \right),$ $a$//$mp\,\left( Q \right)$ và $mp\,\left( P \right)\cap mp\,\left( Q \right)=c$ thì $c$//$a$    $\left( III  \right).$

Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=1.$ 

Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y={{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{-\,3}}.$ 

Cho hàm số $y=f\left( x \right),$ có bảng biến thiên như sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{2}{4x-3}.$ 

Cho hình chóp $S.ABCD.$ Gọi $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q$ theo thứ tự là trung điểm của $SA,\,\,SB,\,\,SC,\,\,SD.$ Tỉ số thể tích của hai khối chóp $S.MNPQ$ và $S.ABCD$ bằng 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I\left( 1;0;-\,2 \right),$ bán kính $R=4\,\,?$ 

Cho $a$ là số thực dương khác $4.$ Tính $I={{\log }_{\frac{a}{4}}}\left( \frac{{{a}^{3}}}{64} \right).$ 

Phương trình ${{4}^{{{x}^{2}}\,-\,2x}}+{{2}^{{{x}^{2}}\,-\,2x\,+\,3}}-3=0.$ Khi đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}\,-\,2x}},$ ta được phương trình nào dưới đây 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left( 1;-\,2;3 \right).$ Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ là điểm $M.$ Tọa độ của điểm $M$ là 

Rút gọn biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{a^4.\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}}$ với $a>0,$ ta được kết quả $A={{a}^{\frac{m}{n}}},$ trong đó $m,\,\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng ? 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $A\left( 1;0;1 \right),\,\,B\left( 2;1;2 \right)$$D\left( 1;-\,1;1 \right)$ và ${C}'\left( 4;5;-\,5 \right).$ Tính tọa độ đỉnh ${A}'$ của hình hộp. 

Cho $F\left( x \right)=\left( a{{x}^{2}}+bx-c \right){{e}^{2x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\left( 2018{{x}^{2}}-3x+1 \right){{e}^{2x}}$ trên khoảng $\left( -\,\infty ;+\,\infty  \right).$ Tính tổng $T=a+2b+4c.$ 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai vectơ $\vec{u},\,\,\vec{v}$ tạo với nhau một góc ${{120}^{0}}$ và $\left| {\vec{u}} \right|=2;$$\left| {\vec{v}} \right|=5.$ Tính giá trị biểu thức $\left| \vec{u}+\vec{v} \right|.$  

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên trục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ:Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)-5x$ là 

Biết hệ số của ${{x}^{2}}$ trong khai triển của ${{\left( 1-3x \right)}^{n}}$ là $90.$ Tìm $n\,\,?$ 

Cho phương trình lượng giác $2m\sin x\cos x+4{{\cos }^{2}}x=m+5,$ với $m$ là một phần tử của tập hợp $E=\left\{ -\,3;-\,2;-\,1;0;1;2 \right\}.$ Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đã cho có nghiệm ? 

Nếu ${{\log }_{2}}\left( {{\log }_{8}}x \right)={{\log }_{8}}\left( {{\log }_{2}}x \right)$ thì ${{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{2}}$ bằng 

Tìm giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=\left( 3m+1 \right)x+3+m$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-1.$  

Khi quay một tam giác đều cạnh bằng $a$ (bao gồm cả điểm trong tam giác) quanh một cạnh của nó ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay đó theo $a.$  

Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2{{e}^{x}}+3}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right)=10.$ Tìm $F\left( x \right).$ 

Cho $x=2018!.$ Tính $A=\frac{1}{{{\log }_{{{2}^{2018}}}}x}+\frac{1}{{{\log }_{{{3}^{2018}}}}x}+\,...\,+\frac{1}{{{\log }_{{{2017}^{2018}}}}x}+\frac{1}{{{\log }_{{{2018}^{2018}}}}x}.$  

Tìm giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\log _{5}^{2}x-m{{\log }_{5}}x+m+1=0$ có hai nghiệm thực ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=625.$  

Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{\log }_{4}}\frac{2x+1}{x-1} \right)>1$   

Cho hàm số $y=\left( m-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2x+5$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\,\infty ;+\,\infty  \right)\,\,?$  

Cho hình chóp $S.ABC$ có các cạnh bên $SA,\,\,SB,\,\,SC$ tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng ${{30}^{0}}.$ Biết $AB=5,\,\,AC=7,\,\,BC=8.$ Tính khoảng cách $d$ từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right).$  

Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}m{{x}^{2}}-4x-10,$ với $m$ là tham số, gọi ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left( x_{1}^{2}-1 \right)\left( x_{2}^{2}-1 \right)$ bằng 

Tìm $L=\lim \left( \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1+2}+\,...\,+\dfrac{1}{1+2+\,...\,+n} \right).$ 

Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-{{m}^{3}}$ với $m$ là tham số; gọi $\left( C \right)$ là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng, khi $m$ thay đổi, điểm cực đại của đồ thị $\left( C \right)$ luôn nằm trên một đường thẳng $d$ cố định. Xác định hệ số góc $k$ của đường thẳng $d.$  

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+{{m}^{4}}+5$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ $O$ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm số phần tử của $S.$  

Cho hình trụ $\left( T \right)$ có $\left( C \right)$ và $\left( {{C}'} \right)$ là hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt đối diện của một hình lập phương. Biết rằng, trong tam giác cong tạo bởi đường tròn $\left( C \right)$ và hình vuông ngoại tiếp của $\left( C \right)$ có một hình chữ nhật kích thước $a\,\,\times \,\,2a$ (như hình vẽ dưới đây). Tính thể tích $V$ của khối trụ $\left( T \right)$ theo $a.$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a\sqrt{3},\,\,AD=a.$ Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo $a$ diện tích $S$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$ 

Cho hàm số $y=f\left( x \right)={{2}^{2018}}{{x}^{3}}+{{3.2}^{2018}}{{x}^{2}}-2018$ có đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}},\,\,{{x}_{3}}.$ Tính giá trị biểu thức $P=\frac{1}{{f}'\left( {{x}_{1}} \right)}+\frac{1}{{f}'\left( {{x}_{2}} \right)}+\frac{1}{{f}'\left( {{x}_{3}} \right)}.$ 

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân, với $AB=AC=a$ và góc $\widehat{BAC}={{120}^{0}},$ cạnh bên $A{A}'=a.$ Gọi $I$ là trung điểm của $C{C}'.$ Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( A{B}'I \right)$ bằng  

Cho hàm số $y=\frac{2x}{x+2},$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right),$ với ${{x}_{0}}\ne 0.$ Biết khoảng cách từ điểm $I\left( -\,2;2 \right)$ đến tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ là lớn nhất, mệnh đề nào sau đây đúng? 

Tính giá trị của biểu thức $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy+1,$ biết ${{4}^{{{x}^{2}}\,+\,\frac{1}{{{x}^{2}}}\,-\,1}}={{\log }_{2}}\left( 14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1} \right),$ với $x\ne 0,$ $-\,1\le y\le \frac{13}{2}.$ 

Xét các số thực $x,\,\,y$ với $x\ge 0$ thỏa mãn điều kiện:${{2018}^{x\,+\,3y}}+{{2018}^{xy\,+\,1}}+x+1={{2018}^{-\,xy\,-\,1}}+\frac{1}{{{2018}^{x\,+\,3y}}}-y\left( x+3 \right)$Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=x+2y.$ Mệnh đề nào sau đây đúng ? 

Cho $x,\,\,y$ là các số thực dương. Xét các hình chóp $S.ABC$ có $SA=x,\,\,BC=y,$ các cạnh còn lại đều bằng $1.$ Khi $x,\,\,y$ thay đổi, thể tích khối chóp $S.ABC$ có giá trị lớn nhất là 

Cho hàm số $f\left( x \right)=\left( {{m}^{2018}}+1 \right){{x}^{4}}+\left( -\,2{{m}^{2018}}-{{2}^{2018}}{{m}^{2}}-3 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2018}}+2018,$ với $m$ là tham số. Số cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right)-2017 \right|$ là 

Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & {{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+5\,\,\left( \forall n\ge 1 \right) \\ \end{align} \right.$. Tìm số nguyên n nhỏ nhất để ${{u}_{n}}>2018.$ 

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau $y=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}$